Многогранники вокруг нас Подготовил ученик 10 «А» класса МОУ СОШ 32 Гудинов Дмитрий

Многогранником называется тело, граница которого является объединением конечного числа многоугольников.

Правильные многогранники (Платоновы тела) «Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук» Л. Кэррол

Платоновыми телами называются правильные однородные выпуклые многогранники, то есть выпуклые многогранники, все грани и углы которых равны, причем грани - правильные многоугольники. Свойства: в каждой вершине правильного многогранника сходится одно и то же число рёбер; в все двугранные углы при рёбрах равны; се многогранные углы при вершинах правильного многоугольника равны. Платоновы тела - трехмерный аналог плоских правильных многоугольников. Существует лишь пять выпуклых правильных многогранников.

Тетраэдр-четырехгранник, все грани которого треугольники, т.е. треугольная пирамида; правильный тетраэдр ограничен четырьмя равносторонними треугольниками.

Куб или правильный гексаэдр - правильная четырехугольная призма с равными ребрами, ограниченная шестью квадратами.

Октаэдр-восьмигранник, тело, ограниченное восемью правильными треугольниками.

Додекаэдр-двенадцатигранник, тело, ограниченное двенадцатью правильными многоугольниками.

Икосаэдр-двадцатигранник, тело, ограниченное двадцатью равносторонними треугольниками.

ТАБЛИЦА правильных многогранников Название: Число ребер при вершине Число сторон грани ЧислогранейЧисло ребер ребер Число вершин Тетраэдр33464 Куб Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр

Начиная с VII века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы, в которых происходит переход от практической к философской геометрии. Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора.Пифагора. ПифагорейцыПифагорейцы считали, что атомы основных элементов должны иметь форму различных Платоновых тел. ПлатонПлатон связал с этими телами формы атомов основных стихий природы. (Стихия – вещество, из которого путем сгущения и разряжения, охлаждения и нагревания образуются все тела)

огонь тетраэдр водаикосаэдр воздух октаэдр землягексаэдр вселенная додекаэдр додекаэдр

Многогранники в искусстве и архитектуре Великая пирамида в Гизе. Эта грандиозная Египетская пирамида является древнейшим из Семи чудес древности. Кроме того, это единственное из чудес, сохранившееся до наших дней. Во времена своего создания Великая пирамида была самым высоким сооружением в мире. И удерживала она этот рекорд, по всей видимости, почти 4000 лет.

Александрийский маяк Александрийский маяк. Маяк был построен на маленьком острове Фарос в Средиземном море, около берегов Александрии. Этот оживленный порт основал Александр Великий во время посещения Египта. Сооружение назвали по имени острова. На его строительство, должно быть, ушло 20 лет, а завершен он был около 280 г. до н.э., во времена правления Птолемея II, царя Египта. Маяк был построен на маленьком острове Фарос в Средиземном море, около берегов Александрии. Этот оживленный порт основал Александр Великий во время посещения Египта. Сооружение назвали по имени острова. На его строительство, должно быть, ушло 20 лет, а завершен он был около 280 г. до н.э., во времена правления Птолемея II, царя Египта.

Три башни Фаросский маяк состоял из трех мраморных башен, стоявших на основании из массивных каменных блоков. Первая башня была прямоугольной, в ней находились комнаты, в которых жили рабочие и солдаты. Над этой башней располагалась меньшая, восьмиугольная башня со спиральным пандусом, ведущим в верхнюю башню.

В эпоху Возрождения большой интерес к формам правильных многогранников проявили скульпторы. архитекторы, художники. Леонардо да Винчи ( ) например, увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Он проиллюстрировал правильными и полуправильными многогранниками книгу Монаха Луки Пачоли ''О божественной пропорции.'' Леонардо да Винчи Леонардо да Винчи

Многогранники в биологии Математики считают, что пчёлы Математики считают, что пчёлы строили свои шестиугольные соты строили свои шестиугольные соты задолго до появления человека. задолго до появления человека. Икосаэдр Икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Геометрические свойства Геометрические свойства икосаэдра позволяют экономить генетическую икосаэдра позволяют экономить генетическую информацию. информацию.

Полуправильные многогранники (тела Архимеда) Архимеда Полуправильным называется выпуклый многогранник, гранями которого являются правильные многоугольники (возможно с разным числом сторон), причём в каждой вершине сходится одинаковое число граней.

Усечённый октаэдр (получается путем операции отсечения углов октаэдра плоскостями) Усечённый тетраэдр (получается путем операции отсечения углов тетраэдра плоскостями) Усечённый икосаэдр (получается путем операции отсечения углов икосаэдра плоскостями)

Усечённый куб Икосододекаэдр Усечённыйикосододекаэдр Усечённый кубооктаэдр

Звёздчатые многогранники Звёздчатые многогранники получаются из правильных многогранников продолжением их граней или рёбер. (тела Кеплера – Пуансо)

У октаэдра есть только одна звездчатая форма. Её можно рассматривать как соединение двух тетраэдров. Большой звездчатый додекаэдр был впервые в 1619 г. Это последняя звездчатая форма правильного додекаэдра. Большой звездчатый додекаэдр был впервые описан Кеплером в 1619 г. Это последняя звездчатая форма правильного додекаэдра. Звёздчатый октаэдр Звёздчатый додекаэдр

Первая звёздчатая форма икосаэдра. Вторая звёздчатая форма икосаэдра. Шестая звёздчатая форма икосаэдра Звездчатый икосаэдр

Третья звёздчатая форма кубооктаэдра. Завершающая звёздчатая форма кубооктаэдра. Звездчатый кубооктаэдр

Первая звёздчатая форма икосододекаэдра. Девятая звёздчатая форма икосододекаэдра. Завершающая звёздчатая форма икосододекаэдра. Звездчатый икосододекаэдр

ЭЙЛЕР Леонард ( ), математик, механик, физик и астроном. По происхождению швейцарец. Учёный необычайной широты интересов и творческой продуктивности. Автор св. 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближенным вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и других, оказавших значительное влияние на развитие науки.

Теорема Эйлера Пусть В - число вершин выпуклого многогранника, Р - число его рёбер и Г - число граней. Тогда верно равенство В-Р+Г=2. Число =В-Р+Г называется эйлеровой характеристикой многогранника. Согласно теореме Эйлера, для выпуклого многогранника эта характеристика равна 2. То что эйлерова характеристика равна 2 для некоторых знакомых нам многогранников, видно из таблицы.

Многогранник Числ о вершин ребер гране й В-Р+Г Тетраэдр4642 Куб81262 Октаэдр61282 Додекаэдр Икосаэдр n-угольная пирамида n+12nn+12 n-угольная призма 2n3nn+22

Теорема Эйлера имеет огромное значение в геометрии. Эта теорема породила новое направление в математике - топологию. Эйлерова характеристика не зависит ни от длин рёбер, ни от площадей граней, ни от каких-либо углов многогранника. Эйлерова характеристика равна 2 независимо от того, выпуклый это многогранник или нет. Главное - чтобы поверхность этого многогранника не имела дыр и была " похожа" на сферу, а не на рамку топологию (см. рис.). Для многогранника, " похожего" на рамку, эйлерова характеристика равна 0.

МНОГОГРАННИКИ из ленты Многогранники – отнюдь не только объект научных исследований. Их формы – завершенные и причудливые, широко используются в декоративном искусстве. Обычно многогранники конструируют из разверток. Но есть и другой способ – построение многогранников из ленты.

Тетраэдр можно получить, перегибая бумажную ленту по сторонам расчерченных на ней равносторонних треугольников.

Аналогичным способом можно свернуть куб. Его грани также выстраиваются в цепочку, а чтобы изменить направление ленты для завершения формообразова ния, достаточно перегнуть ее по диагонали квадрата.

Построение октаэдра и икосаэдра осуществляется на основе узора из правильных треугольников. Свернув для октаэдра кольцо из шести, а для икосаэдра – из десяти треугольников, перегибаем ленту в обратную сторону и продолжаем сворачивать такие же кольца.

Спасибо за просмотр!