Пересеченье двух миров В какой произойдет момент? А вдруг на стыке двух орбит Нет обозначенных планет?!

Скрещивающиеся прямые лежат в параллельных плоскостях. α а b Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости

Через точку, не лежащую на данных плоскостях, проходит прямая, и притом, единственная, пересекающая обе скрещивающиеся прямые. М α b а c

У всяких двух скрещивающихся прямых имеется общий перпендикуляр. α c М N b а

Если одна из двух скрещивающихся прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая параллельна этой плоскости, то длина перпендикуляра, опущенного из любой точки второй прямой на эту плоскость есть расстояние между скрещивающимися прямыми. а b c М N α

Теперь вы догадываетесь, какие интересные конструкции можно составлять из скрещивающихся прямых. Без скрещивающихся ребер нет и многогранника. Рассмотрим несколько моделей различных многогранников.

АС и В 1 D 1 – орбиты звездолетов, а точка М - это межпланетная станция. Надо произвести запуск звездолета по космическому тоннелю так, что бы тоннель проходил через точку М.* *Требуется построить прямую линию, пересекающую две скрещивающиеся прямые и проходящую через точку М. B1B1 C1C1 B C D D1D1 A1A1 М А

B1B1 C1C1 А B C D D1D1 A1A1 М Надо произвести запуск космического звездолета с межпланетной станции (точка М), таким образом, что бы он пересек орбиты В 1 D 1 и АС за минимально короткое время. Постройте траекторию движения звездолета.* *Требуется построить прямую линию, проходящую через точку М и пересекающую две скрещивающиеся прямые.

АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 – космическая станция, имеющая форму куба. Требуется найти расстояние между АА 1 и В 1 D, если ребро куба равно а. К B1B1 C1C1 А B C D D1D1 А1А1

А теперь попробуйте выполнить следующие задания. 1.Каково взаимное расположение прямых АС и B 1 D 1 ? 2. Пусть дана точка, не лежащая ни на одной из скрещивающихся прямых. Всегда ли можно построить прямую, проходящую через эту точку и пересекающую обе скрещивающиеся прямые? 3. Каково расстояние между прямыми АС и В 1 D 1, если ребро куба равно а? 4. П остро й т е общий перпендикуляр для прямых АС и B 1 D 1 ? B1B1 C1C1 А B C D D1D1 А1А1

B1B1 C1C1 B C D D1D1 A1A1 М О1О1 О2О2 Искомая прямая проходит через точку М и прямую АС, поэтому она находится в плоскости МАС или АА 1 С 1 С. Кроме того, она должна пересекать прямую В 1 D 1 и, следовательно, задача сводится к построению точки пересечения прямой В 1 D 1 и плоскости АА 1 С 1 С. Строим сечение АА 1 С 1 С. Прямая В 1 D 1 и плоскость АА 1 С 1 С пересекаются в точке О 1. А Через точки М и О 1 проходит искомая прямая МО 1. Продолжим прямую АС, что бы построить точку пересечения прямых МО 1 и АС. Прямые пересекаются в точке О 2. Прямая О 1 О 2 и есть искомая прямая. Построение Пуск

М Y X C D B D1D1 C1C1 А A1A1 В1В1 Построение Пуск Искомая прямая проходит через точку М и прямую В 1 D 1, поэтому она находится в плоскости В 1 D 1 М. Плоскость В 1 D 1 М пересекает плоскость АВСD. Построим точку пересечения этих плоскостей. Для этого достаточно продолжить прямые DС и D 1 М, (т.к. они лежат в одной плоскости DD 1 М и пересекаются в точке X, принадлежащей плоскости АВСD). Плоскость В 1 D 1 М пересекает параллельные плоскости АВСD и А 1 В 1 С 1 D 1.По свойству параллельных плоскостей линии пересечения плоскости В 1 D 1 М с этими плоскостями параллельны. В плоскости АВС построим прямую, проходящую через точку X параллельно ВD. Продолжим прямую АС, что бы построить вторую точку пересечения плоскостей Y. Прямая MY и есть искомая, т.к. она пересекает обе скрещивающиеся прямые и проходит через точку М.

A1A1 В1В1 C1C1 D1D1 D C A В О Построение Замечаем, что прямая В 1 D лежит в плоскости сечения ВВ 1 D 1 D, а прямая АА 1 параллельна этой плоскости. Следовательно, что бы найти расстояние между прямыми АА 1 и В 1 D надо опустить перпендикуляр из любой точки прямой АА 1 на плоскость ВВ 1 D и найти его длину. Опустим перпендикуляр АС на плоскость ВВ 1 D (подумай как). АО и есть искомое расстояние. АО =

Ответы к заданию 4..

а b α Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются a b

а b Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая пересекает данную плоскость α a b

а b α c Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны. a c, b c, a c, b c, a b