СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Мысль выражать числа десятью знаками… настолько простая, что … трудно понять, насколько она удивительна. П.С. Лаплас

Цель: изучение различных систем счисления Задачи: 1) Познакомиться с литературными источниками по проблеме исследования; 2) Познакомиться с различными исторически сложившимися способами записи чисел 3) Рассмотреть позиционные и непозиционные системы счисления 4) Научиться записывать числа в различных позиционных системах счисления, переводить числа из одной системы счисления в другую; 5) Выполнять арифметические действия в различных позиционных системах, определять в каких системах счисления выполнены арифметические действия, если не известно основание системы.

ИЕРОГЛИФИЧЕСКАЯ СИСТЕМА

РИМСКАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ xxxx

АЛФАВИТНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

ШЕСТИДЕСЯТЕРИЧНАЯ (Вавилонская) система

ДВЕНАДЦАТЕРИЧНАЯ СИСТЕМА

Система счисления- способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков ( цифр) Непозиционные системы ( смысл каждого символа не зависит от места, на котором стоит) Позиционные системы (смысл каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции) Римская система счисления x x x A=a n p n +a n-1 p n-1 +…+ a 1 p 1 +a 0 p 0 а- цифра ( символ) Р- основание системы n-номер старшего разряда Десятичная система счисления ( 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)

Шестнадцатеричная система счисления ( 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A,B,C,D,E,F) Двоичная система счисления (0,1) Восьмеричная система счисления ( 0,1,2,3,4,5,6,7)

Правило 1 Для перевода числа из любой системы счисления в десятичную нужно воспользоваться выражением A=a n p n +a n-1 p n-1 +…+ a 1 p 1 +a 0 p 0 Сначала в десятичную систему счисления переводится основание той системы, из которой осуществляется перевод, а затем цифры исходного числа. Результаты подставляются в данное выражение. Полученная сумма дает искомый результат. 1) 1, 10, 100, 101, = = 2 ; = = = = 5; = =12 2) = = ) С 7 16 = = = 199

Правило 2 Чтобы перевести целое число из десятичной системы счисления в систему с основанием р Нужно: 1)Последовательно делить заданное число и получаемые целые части на новое основание счисления до тех пор, пока целая часть не станет меньше нового основания счисления. 2) Полученные остатки от деления, представленные цифрами нового счисления, записать в виде числа, начиная с последней целой части : 2 = 1004 ( ост. 0) 2008: 5 = 401 ( ост 3) 1004 :2 = 502( ост 0) 401 : 5 = 80 ( ост 1) 502 : 2 = 251 ( ост 0) 80 : 5 = 16 ( ост 0) 251 :2 = 125 ( ост 1) 16 : 5 = 3 ( ост 1) 125 : 2 = 62 ( ост 1) 3: 5 = 0 ( ост 3) 62 : 2 = 31 ( ост 0) 31 : 2 = 15 ( ост 1) 15 : 2 = 7 ( ост 1) 7 :2 = 3 ( ост 1) 3 : 2 = 1 ( ост 1) 1: 2 = 0 ( ост 1) 2008= =

Правило 3 Для, того чтобы перевести число,записанное в восьмеричной системе в двоичную, необходимо каждую цифру восьмеричного числа представить триадой двоичных символов. Лишние нули в старших разрядах отбрасываются =

Правило 4 Для, того чтобы перевести число, записанное в двоичной системе в восьмеричную, нужно каждую триаду двоичных цифр заменить восьмеричной цифрой. Для правильного перевода число должно быть выровнено, т.е. число двоичных знаков должно быть кратно 3.выравнивание производится простым дописыванием требуемого количества нулей перед старшим разрядом целой части = =

Правило 5 При переводах чисел между двоичными и шестнадцатеричными системами счисления используются четверки чисел- тетрады. При необходимости Выравнивание выполняется до длины двоичного числа, кратной четырем = = 7D D 8 Правило 6 При переходе из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно используется вспомогательный двоичный код числа = = =

Задача Один учитель заявил, что у него в классе 100 детей, из них 24 мальчика и 32 девочки. Какой системой счисления он пользовался? Сколько у него учеников в десятичной системе? Решение: Пусть х – основание системы, тогда 100 = 1 Х Х Х 0 = Х 2 24= 2 Х Х 0 = 2Х +4 32= 3 Х Х 0 =3Х+2 2Х +4 +3Х+2 = Х 2 Х 2 -5 Х -6 =0 Х 1 =-1, Х 2 = 6 -1 не является основанием системы, значит основание системы счисления равно 6. В десятичной системе: Всего 36 учеников: 16 мальчиков, 20 девочек.

Арифметические действия в различных системах счисления 1.Операция сложения выполняется поразрядно, начиная с младших разрядов в слагаемых; 2. В каждом одноименном разряде слагаемых суммируются соответствующие цифры и переносятся из предыдущего разряда суммы. 3. Если сумма цифр одноименных разрядов слагаемых и переноса меньше основания системы счисления, то перенос в следующий разряд равен нулю, если равна или больше – то равен единице. 4. При вычитании, если нужно «занять» у следующего разряда, то занятая единица в данном случае равна основанию системы счисления )

3) ) × ) ) × 12 3 ×

Записать дробь 4/27 в виде троичной дроби , ,

На доске сохранилась полустертая запись 23* 5 * * Пример записан в семеричной системе счисления. Существует ли система счисления, в которой одновременно выполнялись равенства а) 3+4 = 10 б) 2+3=5 3 4 = =11 Установить, в какой системе счисления выполняется каждое из следующих равенств: : 4 = ×

=100

=100 2