Восемь способов решения тригонометрического уравнения sin x – cos x = 1 Проект составил ученик 10п класса МОУ «Бичурга – Баишевская СОШ» Мишкин Михаил 2007 г.

Цель: Лучше подготовится к ЭГЕ.

sin x – cos x =1 Разложим левую часть по формулам двойного аргумента, а правую часть заменим тригонометрической единицей: 2sin x/2 * cos x/2 – cos² x/2 +sin² x/2 = sin² x/2 + cos² x/2 2sin x/2 * cos x/2 – 2cos² x/2 = 0 cos x/2 * (sin x/2 – cos x/2) =0 Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом не теряют смысла, поэтому cos x/2 * (sin x/2 – cos x/2) =0 => cos x/2 = 0 или sin x/2 – cos x/2 = 0 cos x/2 = 0; x/2 = π/2 + πk; x = π + πk; k Є Z; sin x/2 – cos x/2 = 0 – однородное уравнение первой степени. Делим обе его части на cos x/2 (cos x/2 0, так как, если cos x/2 = 0, sin x/2 – 0 = 0 => sin x/2 = 0, что противоречит тождеству sin² x/2 + cos² x/2 = 1). Получим tg x/2 – 1 = 0; tg x/2 = 1; x/2 = π/4 = πn; x = π/2 + 2πn; n Є Z. Ответ: x = π + 2πk; k Є Z или x = π/2 + 2πn, n Є Z. 1-й способ. ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЯ К ОДНОРОДНОМУ ОТНОСИТЕЛЬНО СИНУСА И КОСИНУСА.

sin x – cos x =1 sin x – (1 + cos x) = 0; Так как 1 + cos x = 2cos² x/2, а sin x = 2sin x/2 * cos x/2, то 2sin x/2 * cos x/2 – 2cos² x/2 = 0; cos x/2 * (sin x/2 – cos x/2) = 0 cos x/2 * (sin x/2 – cos x/2) =0 => cos x/2 = 0 или cos x/2 * (sin x/2 – cos x/2) =0 => cos x/2 = 0 или sin x/2 – cos x/2 = 0 cos x/2 = 0; x/2 = π/2 + πk; x = π + πk; k Є Z; sin x/2 – cos x/2 = 0 – однородное уравнение первой степени. Делим обе его части на cos x/2 (cos x/2 0, так как, если cos x/2 = 0, sin x/2 – 0 = 0 => sin x/2 = 0, что противоречит тождеству sin² x/2 + cos² x/2 = 1). Получим tg x/2 – 1 = 0; tg x/2 = 1; x/2 = π/4 = πn; x = π/2 + 2πn; n Є Z. Ответ: x = π + 2πk; k Є Z или x = π/2 + 2πn, n Є Z. 2-й способ. РАЗЛОЖЕНИЕ ЛЕВОЙ ЧАСТИ УРАВНЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ.

sin x – cos x = 1 В левой части уравнения вынесем 2 за скобку (корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов при sin x и cos x). Получим 2(sin x * 1/2 – cos x * 1/2) = 1; sin x cos π/4 – cos x sin π/4 = 1/2; sin (x – π/4) = 2/2 x – π/4 = (-1) k arcsin 2/2 + πk, k Є Z. Ответ: Ответ: x = π/4 + (-1) k * π/4 + πk, k Є Z. x = π/4 + (-1) k * π/4 + πk, k Є Z. С помощью тригонометрического круга легко установить, что решение С помощью тригонометрического круга легко установить, что решение x = π/4 + (-1) k * π/4 + πk распадается на два случая x = π + 2πk, x = π + 2πk, x = π/2 + 2πk; x = π/2 + 2πk; x – π/4 = π/4 + 2πn, x = π/2 + 2πn, n Є Z, x – π/4 = π/4 + 2πn, x = π/2 + 2πn, n Є Z, sin (x – π/4) = 2/2 => => x – π/4 = 3π/4 + 2πk; x = π + 2πk, k Є Z. x – π/4 = 3π/4 + 2πk; x = π + 2πk, k Є Z. 3-й способ. ВВЕДЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО УГЛА (ЧИСЛА).

sin x – cos x = 1 Запишем уравнение в виде sin x – sin (π/2 – x) = 1. Применяем формулу разности двух синусов, получим 2sin (x – π/4) cos π/4 = 1 2sin (x – π/4) * 2/2 = 1 sin (x – π/4) = 1/2 x – π/4 = (-1) k arcsin 2/2 + πk, k Є Z. Ответ: Ответ: x = π/4 + (-1) k * π/4 + πk, k Є Z. x = π/4 + (-1) k * π/4 + πk, k Є Z. С помощью тригонометрического круга легко установить, что решение С помощью тригонометрического круга легко установить, что решение x = π/4 + (-1) k * π/4 + πk распадается на два случая x = π + 2πk, x = π + 2πk, x = π/2 + 2πk; x = π/2 + 2πk; x – π/4 = π/4 + 2πn, x = π/2 + 2πn, n Є Z, x – π/4 = π/4 + 2πn, x = π/2 + 2πn, n Є Z, sin (x – π/4) = 2/2 => => x – π/4 = 3π/4 + 2πk; x = π + 2πk, k Є Z. x – π/4 = 3π/4 + 2πk; x = π + 2πk, k Є Z. 4-й способ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАЗНОСТИ (ИЛИ СУММЫ) ТРИГОЯНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ПРОИЗВЕДЕНИЕ.

sin x – cos x = 1 Так как sin² x + cos² x = 1, то sin x = ± 1 – cos² x, sin x – cos x = 1 ± 1- cos² x – cos x = 1, ± 1 – cos² x = 1 + cos x. Возведём обе части полученного уравнения в квадрат: 1 – cos² x = 1 + 2cos x + cos²x, 2cos² x + 2cos x = 0, cos x = 0 cos x = 0 cos x (cos x + 1) = 0 => cos x + 1 = 0 cos x + 1 = 0 cos x = 0; x = π/2 + πk, k Є Z cos x = 0; x = π/2 + πk, k Є Z cos x + 1; cos x = -1; x = π + 2πn, n Є Z В процессе решения обе части уравнения возводились в квадрат, что могло привести у появлению посторонних решений, поэтому необходима проверка. Выполним её. В процессе решения обе части уравнения возводились в квадрат, что могло привести у появлению посторонних решений, поэтому необходима проверка. Выполним её. Полученные решения эквиваленты объединению трёх решений: Полученные решения эквиваленты объединению трёх решений: x = π/2 + 2πk, x = π/2 + 2πk, x = π + 2πn, x = π + 2πn, x = - π/2 +2πm. x = - π/2 +2πm. Первое и второе решения совпадают с ранее полученными, Первое и второе решения совпадают с ранее полученными, поэтому не являются посторонним. Проверим x = - π/2 + 2πm, m Є Z. x = - π/2 + 2πm, m Є Z. Левая часть: sin (-π/2 + 2πm) – cos (-π/2 + 2πm) = sin (-π/2) – cos (-π/2) = -1 – 0 = -1. Правая часть: 1. Следовательно, x = - π/2 + 2πm, m Є Z – постороннее решение. Ответ: x = π/2 + 2πk, k Є Z или x = π + 2πn, n Є Z. 5-й способ. ПРИВЕДЕНИЕ К КВАДРАТНОМУ УРАВНЕНИЮ ОТНОСИТЕЛЬНО ОДНОЙ ИЗ ФУНКЦИЙ.

sin x – cos x = 1 sin² x – 2sin x cos x + cos² x = 1; 1 – sin 2x = 1; sin 2x = 0; 2x = πk; x = πk/2, k Є Z. Полученное решение эквивалентно объединению четырех решений: x = 2πk, k Є Z, x = 2πk, k Є Z, x = π/2 + 2πn, n Є Z, x = π/2 + 2πn, n Є Z, x = π + 2πm, m Є Z, x = π + 2πm, m Є Z, x = - π/2 + 2πl, l Є Z. x = - π/2 + 2πl, l Є Z. Проверка показывает, что первое и четвертое решения – посторонние. Ответ: x = π/2 + 2πn, n Є Z, или x = π + 2πm, m Є Z. x = π/2 + 2πn, n Є Z, или x = π + 2πm, m Є Z. 6-й способ. ВОЗВЕДЕНЕИЕ ОБЕИХ ЧАСТЕЙ УРАВНЕНИЯ В КВАДРАТ.

С учетом приведенных формул уравнение sin x – cos x = 1 запишем в виде 2tg x/2 / 1 + tg² x/2 – 1 – tg² x/2 / 1 + tg² x/2 = 1. Умножим обе части уравнения на 1 + tg² x/2 (1 + tg² x/2 0, так как tg² x/2 0): 2tg x/2 – 1 + tg² x/2 = 1 + tg² x/2; 2tg x/2 = 2; tg x/2 = 1; x/2 = π/4 + πn; x = π/2 + 2πn, n Є Z. ОДЗ первоначального уравнения – все множество R. При переходе к tg x/2 из рассмотрения выпали значения, при которых tg x/2 не имеет смысла, т.е. x/2 = π/2 + πk, или x = π + 2πk, k Є Z. Следует проверить, не является ли x = π + 2πk решением данного уравнения. Левая часть: sin (π + 2πk) – cos (π + 2πk) = sin π – cos π = 0 – (-1) = 1. Левая часть: sin (π + 2πk) – cos (π + 2πk) = sin π – cos π = 0 – (-1) = 1. Правая часть: 1. Значит, x = π + 2πk, k Є Z – решение уравнения. Ответ: x = π/2 + 2πn, n Є Z, или x = π + 2πk, k Є Z. или x = π + 2πk, k Є Z. 7-й способ. ВЫРАЖЕНИЕ ВСЕХ ФУНКЦИЙ ЧЕРЕЗ tg x (УНИВЕРСАЛЬНАЯ ПОДСТАНОВКА) ПО ФОРМУЛАМ: sin x = 2tg x/2 / 1 + tg² x/2; sin x = 2tg x/2 / 1 + tg² x/2; cos x = 1 – tg² x/2 / 1 + tg² x/2; tg x = 2tg x/2 / 1 – tg² x/2.

sin x – cos x = 1 Рассматриваемое уравнение запишем в виде sin x = 1 + cos x. На одном и том же чертеже построим графики функций, соответствующих левой и правой частям уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков являются решениями данного уравнения. На одном и том же чертеже построим графики функций, соответствующих левой и правой частям уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков являются решениями данного уравнения. y = sin x – график: косинусоида; y = sin x – график: косинусоида; y = cos x + 1 – график: косинусоида y = cos x смещенная на 1 вверх. y = cos x + 1 – график: косинусоида y = cos x смещенная на 1 вверх. Ответ: x = π/2 + 2πk, k Є Z или x = π + 2πn, n Є Z. 8-й способ. ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ.

Литература: 1. Газета «Математика» 40,октябрь 1995г. 2. Учебник «Алгебра и начала анализа» 10 – 11 классы, Москва «Просвещение» 2004г.