Районная научно-практическая конференция- фестиваль творчества обучающихся «Будущие лидеры Отечества» О применении монотонности функций при решении уравнений и неравенств Работа Мухаметшина Михаила, учащегося 11 класса МОУ «Гимназия 1» г.Ядрин Учитель математики МОУ «Гимназия 1» г.Ядрин Киселев Петр Николаевич г. Ядрин -2008

В курсе алгебры сначала изучается та или иная функция, а потом решаются уравнения и неравенства, содержащие изученные функции. Однако во многих случаях при решении уравнений и неравенств мы забываем, что применяем основные свойства функций, входящих в данные уравнения или неравенства. Из большого количества свойств функций я выделил монотонность. Я рассмотрел школьные учебники, математические журналы, пособия по подготовке к ЕГЭ с целью найти интересующий меня материал и обнаружил большую разницу в различных источниках.

Цель исследования: целесообразность и возможность применения метода монотонности в уравнениях и неравенствах. Объект исследования: применение монотонности функций при решении уравнений и неравенств. Предмет исследования: классы уравнений и неравенств. Задачи исследования: проанализировать действующие учебники алгебры для выявления в них использования понятия «монотонности» к решению уравнений и неравенств; выделить виды уравнений, содержащих монотонные функции; изучить возможность преобразования частей уравнения к монотонным функциям; показать эффективность применения монотонности в уравнениях и неравенствах.

Актуальность данной исследовательской работы: при подготовке к ЕГЭ приходится повторять и систематизировать знания, умения и практические навыки решения задач повышенного и высокого уровней сложности. В учебниках базового уровня данная тема раскрыта достаточно плохо, а в некоторых носит лишь вспомогательный характер, хотя решение большинства уравнений и неравенств можно обосновать монотонностью входящих в них функций. Методы исследования: изучение литературы; сравнение и сопоставление источников теоретического и практического материалов; классификация; анализ и синтез.

Функция называется монотонно возрастающей (убывающей) на некотором промежутке, если для любых и из этого промежутка из неравенства следует неравенство (соответственно, )

Свойства монотонных функций Свойство 1. Сумма возрастающих (убывающих) функций является возрастающей (убывающей) функцией на их общей области определения. Свойство 2. Произведение двух возрастающих функций, принимающих только неотрицательные значения, является возрастающей функцией. Свойство 3. Произведение двух убывающих функций, принимающих только положительные значения, является убывающей функцией Свойство 4. Разность возрастающей и убывающей (убывающей и возрастающей) функций является функцией, возрастающей (убывающей) на их общей области определения. Свойство 5. Если функция - возрастающая и принимает только неотрицательные значения, то функция - убывающая.

Свойство 6. Если функции и обе возрастающие или обе убывающие, то функция - возрастающая. Если одна из функций и возрастающая, а другая убывающая, то функция - убывающая. Замечание. Разность двух возрастающих функций не обязана быть, т.е. может не быть возрастающей. Например, разность функций и - убывающая функция. Разность функций и не является ни убывающей, ни возрастающей на всей области определения.

Теорема 1 (о корне). Пусть функция возрастает (убывает) на промежутке I, число а – любое из значений, принимаемых функцией на этом промежутке. Тогда уравнение имеет единственный корень в промежутке I.

Задача 1. Решить уравнение. Решение. Левая часть данного уравнения – функция, возрастающая на всей числовой прямой. Следовательно, уравнение (1) имеет не более одного корня. Но корень легко угадать: при х = 2 левая часть данного уравнения равна правой. Ответ: х = 2.

Задача 5. Решить уравнение. Решение. Найдем область допустимых значений переменной данного уравнения: При этих значениях квадратный трехчлен, стоящий под первым квадратным корнем, возрастает (вершина параболы – графика квадратного трехчлена – имеет абсциссу ). Тогда левая часть уравнения является возрастающей функцией как сумма трех возрастающих на промежутке функций. По теореме 2 уравнение имеет не более одного корня. Подставляя в уравнение, получаем, это - верное числовое равенство. Ответ: х=2.

Теорема 3. Пусть область существования функции есть промежуток М, и пусть эта функция непрерывна и строго монотонна(т.е. возрастает или убывает) на этом промежутке. Тогда уравнение равносильно системе

Уравнения вида Задача 14. Решить уравнение Решение. Данное уравнение равносильно системе Ответ: х=27.

Задача 8. Решить уравнение. Решение. Правая часть данного уравнения – функция, убывающая на своей области определения, т.е. при всех :. Дробь, у которой числитель постоянен, а знаменатель возрастает, убывает. При квадратный трехчлен, стоящий в левой части уравнения, возрастает, так как вершина параболы имеет абсциссу, ветви параболы направлены вверх. Согласно теореме 6 данное уравнение имеет не более одного корня. При равенство выполняется. Ответ: х=2.

Задача 16. Решить уравнение Решение. Пусть Эта функция определена, непрерывна и возрастает на всей числовой прямой. Данное уравнение имеет вид: Согласно теореме 4 оно равносильно уравнению значит уравнение (*), а вместе и данное уравнение корней не имеет. Ответ: нет корней.

Задача 20. Решить неравенство Решение. Пусть При этом Область определения функции есть промежуток. На этом промежутке непрерывна. Так как то показательная функция убывает, функция возрастает на. Как разность убывающей и возрастающей функций функция убывает на. Тогда данное неравенство равносильно неравенству. Решая методом интервалов, получаем, что множество решений данного неравенства есть промежуток Ответ:

Монотонность при решении задач с параметрами Задача 23. Определить число корней уравнения Решение. Имеем. Функция возрастает на. Тогда. Исходное уравнение имеет не более одного корня. При он единственен. Ответ:Если, то уравнение имеет единственный корень; если, корней нет.

Выводы: Метод монотонности позволяет обосновывать на сознательном уровне решение многих уравнений и неравенств, что подчеркивает не только целесообразность, но и практическую важность этой темы в школьном курсе. Практическая значимость исследования: результаты исследования полезны учащимся старших классов для углубления теоретического материала, для подготовки к ЕГЭ в ходе комплексного повторения курса алгебры, а также учителям школ для организации повторения, для изучения данной темы на элективных курсах.

Литература 1.Алгебра и начала анализа: учеб. для 11 кл. общеобразоват. учреждений [ текст] / С.М.Никольский и др. – М.: Просвещение, Дорофеев Г.В. Алгебра и начала анализа. 10 кл: учебник для общеобразоват. учреждений: в 2 ч. Ч 1 [ текст] / - М.: Дрофа, Дорофеев Г.В. Алгебра и начала анализа. 10 кл: задачник для общеобразоват. учреждений: в 2 ч. Ч 1 [ текст] / - М.: Дрофа, Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике: учебное пособие [текст] / - М.: Вербум-М, Алгебра и начала анализа: учеб. для кл. общеобразоват. учреждений [ текст] / Под ред. А.Н.Колмогорова. – М.: Просвещение, Мордкович А.Г. Алгебра. 9 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений [текст] / - М.: Мнемозина, Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений [текст] / - М.: Мнемозина, Шестаков С.А., Юрченко Е.В. Уравнение с параметром [текст] / - М.: Слог, Алгебра для 9 класса: учеб. пособие для учащихся школ и кл. с углубл. изуч. математики/под ред. Виленкина Н.Я [ текст] – М.: Просвещение, Монотонная функция: определение [электронный носитель] Егоров А., Раббот Ж. Монотонные функции в конкурсных задачах [текст]: // Квант, с. 34