Подготовка к ЕГЭ. Решение задач С – 2 методом координат. Угол между двумя прямыми. Угол между прямой и плоскостью.

Уравнение прямой в пространстве Направляющий вектор прямой b – любой ненулевой вектор коллинеарный прямой. М b M0M0. Пусть - направляющий вектор, М 0 (х 0 ; у 0 ; z 0 ) - фиксированная точка прямой b, М (х; у; z) – произвольная точка прямой. Используя условие коллинеарности векторов и, можно записать уравнение прямой в следующем виде: каноническое уравнение прямой уравнение прямой, проходящей через точки (х 1 ; у 1 ; z 1 ) и (х 2 ; у 2 ; z 2 ) Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ 985

Косинус угла между прямыми а и b определяется по формуле:, где и - направляющие векторы коллинеарные прямым а и b. a b A B C A1A1 B1B1.... a b A B C A1A1 B1B1... Если известны декартовы координаты векторов и, то формула приобретает вид: Угол между скрещивающимися прямыми. Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ 985

Уравнение плоскости в пространстве Нормальный вектор плоскости – это любой ненулевой вектор, перпендикулярный этой плоскости. М0М0 М Выражая скалярное произведение векторов в координатах, получим уравнение плоскости: А(х – х 0 ) + В(у – у 0 ) + С(z – z 0 ) = 0 или Ах + Ву + Сz + D = 0 – общее уравнение плоскости. Пусть - нормальный вектор плоскости, М 0 (х 0 ; у 0 ; z 0 ) - фиксированная точка плоскости. М (х; у; z ) принадлежит плоскости в том и только том случае, если Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ 985

Пусть и - две плоскости, заданные уравнениями А 1 х + В 1 у + С 1 z + D 1 = 0 и А 2 х + В 2 у + С 2 z + D 2 = 0. Тогда (плоскости совпадают) Уравнение плоскости в пространстве Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ 985

Угол между прямой и плоскостью Пусть в пространстве введена декартова система координат, и плоскость задана уравнением: Ах + Ву + Сz + D = 0, тогда вектор нормали плоскости. Пусть задан направляющий вектор прямой b:. А В А1А1 В1В1 С b А В А1А1 В1В1 С b Тогда синус угла между прямой и плоскостью определяется формулой: Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ 985

Уравнение плоскости Задача 1. Написать уравнение плоскости, если ей принадлежат точки К (0; 1; 1), М (8; 2; - 1) и N (-5 ; 0; 2). Ax – 2Ay + 3Az – A = 0или x – 2y + 3z – 1 = 0. Ответ: x – 2y + 3z – 1 = 0. Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через точки К, М и N, подставим в уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0 координаты указанных точек и получим систему линейных уравнений: Решение. Тогда уравнение плоскости примет вид Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ 985

Задача 2. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку Р ( - 1; 2; 1 ), если вектор её нормали. Уравнение плоскости с направляющим вектором имеет вид - х + 2у – 2z + D = 0. Решение. Так как плоскость проходит через точку Р, то координаты точки удовлетворяют уравнению плоскости: Следовательно, D = - 3, и уравнение плоскости имеет вид - х + 2у – 2z – 3 = 0. Ответ: х – 2у + 2z + 3 = 0. Уравнение плоскости Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ 985

Угол между прямой и плоскостью Задача 3. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 (АВ = AD = 2, АА 1 = 1). Найти угол между прямой АС 1 и плоскостью АВ 1 С. Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость; угол между нормалью к плоскости и прямой дополняет его до 90°. Введем систему координат. Уравнение плоскости (АВ 1 С) и координаты нормали к ней: Ответ: Решение. х у z C D A B C1C1 D1D1 A1A1 B1B1 Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ 985

Угол между прямой и плоскостью Задача 4. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, боковые ребра равны 2, а стороны основания – 1, найдите косинус угла между прямой АС и плоскостью SAF. Решение. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке О(0;0;0) – центре основания пирамиды. 1. Координаты точек: 3. Уравнение плоскости (SAF): 4. Вектор нормали имеет координаты: 2. Координаты направляющего вектора: x y z D A BC F S О E Ответ: Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ 985

Угол между скрещивающимися прямыми Задача 5. В прямоугольном параллелепипеде АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 AD = 2, AB =, AA 1 =. Найти угол между прямыми А 1 D и АC 1. Решение: введем систему координат, тогда х у z Угол между прямыми АD и АС равен углу между векторами, если он острый, или смежному с ним, если угол тупой. А (0;0; ), D (2;0;0), A (0;0;0),. D A B C D1D1 A1A1 B1B1 C1C1 Ответ: 45° Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ 985

Угол между скрещивающимися прямыми Задача 6. Найти угол между непересекающимися медианами граней SBC и ABC правильного тетраэдра. Решение. Введём прямоугольную систему координат. 1. Координаты точек: 2. Направляющие векторы прямых: Для определенности рассмотрим медиану SM грани SВС и медиану BP грани АBC Ответ: Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ 985

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD, все рёбра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой АD и плоскостью SDC. Задача 7. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD, все рёбра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой АD и плоскостью SDC. О х Введём прямоугольную систему координат с началом в точке О(0;0;0) – центре основания пирамиды. 1. Координаты точек: 3. Уравнение плоскости (СDS): 4. Вектор нормали имеет координаты: у z Угол между прямой и плоскостью Решение. 2. Координаты направляющего вектора: Ответ: Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ 985

Угол между прямой и плоскостью Задача 8. Все плоские углы тетраэдра АВСD при вершине D прямые. Точки М и N – середины ребер АС и ВD. Найти угол наклона прямой MN к плоскости АВС, если DA = 1, DB = DC = 2. Решение. 1. Введем систему координат так, что D ( 0;0;0), В (2;0;0), С (0;2;0), А (0;0;1). Тогда М (0;1;0,5), N (1;0;0). Уравнение плоскости (АВС): х + у + 2z – 2 = 0. Координаты нормали к плоскости (АВС): x Ответ: y z A C D B M N Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ 985

* Угол между прямой и плоскостью Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ 985

*

*