Проект « Площади многоугольников» Автор проекта: учитель математики Верхнеиндырчинской основной школы Апастовского муниципального района Республики Татарстан Курмашева А.А. Участники проекта : учащиеся 8 класса

Дидактические цели проекта: 1.Расширить знания учащихся о треугольниках, квадратах, прямоугольниках и трапециях, их элементах и их площадях как с математической точки зрения, так и с других точек зрения ( исторической, географической, в повседневной жизни) 2.Развить творческую активность учащихся, умение делать обобщения на основе данных, полученных в результате исследований. 3.Развить познавательную деятельность учащихся, которая в свою очередь, способствует развитию разносторонней личности. 4. Воспитывать у учащихся стремление к самосовершенствованию, удовлетворению познавательных потребностей

Основными задачами проекта являются формирование у учащихся понятия площади плоских фигур; развитие исследовательских навыков; развитие познавательного интереса для их дальнейшего самообразова- ния; формирование навыков проектной работы.

Прогнозируемые результаты В результате выполнения проекта «Площади плоских фигур» учащиеся должны: знать определения треугольника, квадрата, прямоугольника и трапеции, формулы их площадей; продемонстрировать осведомленность о практическом применении площадей этих фигур; знать сведения вычисления площадей в древности; получать навыки анализа и систематизации полученных ранее знаний; навыки выполнения проектной работы; самостоятельно работать с дополнительной литературой.

Гипотеза В древних египетских и вавилонских математических документах встречаются следующие виды четырехугольников : квадраты, прямоугольники, равнобедренные и прямоугольные трапеции. Потребность измерения расстояний и площадей привела к появлению зачатков геометрических знаний в глубине тысячелетий. Изучение площадей плоских фигур вызвало у учащихся большой интерес и побудило их к более глубокому изучению свойств треугольника, квадрата, прямоугольника и трапеции и их площадей, как с математической точки зрения, так и с других точек зрения ( исторической, географической, в повседневной жизни)

Рабочие группы Группа «Исследователи свойств плоских фигур» Группа «Исследователи площадей плоских фигур» Группа «Историки» Группа « Практики»

Египет. Геометрия зародилась в Древнем Египте где-то в 1700 году до н.э. Во время сезона тропических дождей Нил пополнял свои запасы воды и разливался. Вода покрывала участки обработанной земли, и в целях налогообложения нужно было установить, сколько земли потеряно. Землемеры использовали в качестве измерительного инструмента туго натянутую веревку. Еще одним стимулом накопления геометрических знаний египтянам стали такие виды их деятельности, как возведение пирамид и изобразительное искусство. Египтяне при применении геометрических знаний всецело руководствовались интуицией и приближенными представлениями

Греция Около 600 года до н.э. ионийские греки, совершившие путешествие в Египет, привезли на родину первые сведенья о геометрии. Самым известным путешественником в Египет был Фалес (ок. 640-ок.546 до н.э.). Он был преуспевающим купцом, посвятившим последние годы жизни науке и политике. Фалес первым начал доказывать истинность геометрических соотношений.

Площадь квадрата S кв =a 2 а

Площадь прямоугольника Площадь прямоугольника равна произведению двух соседних его сторон в S = а · в а b S=ab

Площадь треугольника Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, опущенную на эту сторону А В С S= ½ AC · ВД А В D C

Следствие 1 А В С S= ½ ВС · АС Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов C В А

Следствие 2 Площадь треугольника равна половине произведения двух любых его сторон на синус угла между ними А В С S= ½ АВ · АС · sin А

Следствие 3 Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле: где а – сторона треугольника

Следствие 3 Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле: где а – сторона треугольника

Площадь параллелограмма 1.Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, опущенную на эту сторону а S = а · h h

Площадь трапеции Площадь трапеции равна произведе- нию полусуммы оснований на высоту S= 1 / 2 (a+b)*h

Геометрические задачи на экстремум Из всех геометрических задач на экстремум считается самой простой и самой древней: Какой из всех прямоугольников заданного периметра имеет наибольшую площадь?. Решение этой задачи было известно ещё математикам Древней Греции. Оно изложено в VI книге Начал Евклида, где доказывается, что, если рассмотреть прямоугольник и квадрат одного и того же периметра, то площадь квадрата будет больше.

Изопериметрические задачи Геометрические задачи, в которых отыскивается фигура с экстремальным свойством среди других фигур с равным периметром, называются изопериметрическими. Такие задачи рассматривал древнегреческий математик Зенодор (II-I вв. до н.э.). Например, Зенодор утверждал, что: 1) из всех многоугольников с равным периметром и равным числом сторон наибольшую площадь имеет правильный многоугольник; 2) из двух правильных многоугольников с равным периметром большую площадь имеет тот, у которого число углов больше; 3) из всех плоских фигур с равным периметром наибольшую площадь имеет круг.

Задачи царицы Дидоны Изопериметрические задачи известны также под названием задачи Дидоны по имени легендарной основательницы города Карфагена и его первой царицы. Согласно легенде, вынужденная бежать из своего родного города, царица Дидона вместе со своими спутниками прибыла на северный берег Африки и хотела приобрести у местных жителей место для нового поселения. Ей согласились уступить участок земли, однако не больше, чем объемлет воловья шкура. Хитроумная Дидона разрезала воловью шкуру на узенькие ремешки и, разложив их, сумела ограничить гораздо большую площадь по сравнению с той, которую можно было бы покрыть шкурой целиком.

Головоломки Наполеона Очевидцы рассказывают, что среди прочих математических, шахматных и тактических задач по военному искусству император Наполеон любил задавать своим офицерам и эту головоломку: какие плоские геометрические фигуры можно построить из девяти предложенных в россыпь деталей?

История головоломки "Танграм" Головоломка "Танграм" - квадрат, разрезанный на 7 частей из которых составляют различные силуэты. Он появился в Китае в конце восемнадцатого века (рисунок). Первое ее изображение (1780 г.) обнаружено на ксилографии японского художника Утамаро, где две девушки складывают фигурки "чи чао ту" - так называется ташрам на его родине (в переводе - умственная головоломка из семи частей"). Название танграм возникло в Европе вероятнее всего от слова "тань" (на кантонском диалекте - китаец) и часто встречающегося греческого корня "грамма" (буква). Впрочем, авторы многих книг по занимательной математике приписывают изобретение танграма якобы жившему 4 тысячи лет назад в Китае ученому Тангу. Эта тщательно разработанная легенда от начала до конца выдумана изобретательным автором головоломок Сэмом Лойдом.

Области применения площадей многоугольников В строительстве; В архитектуре; В машиностроении; В сельском хозяйстве и т. д. В географии

Площади в географии

Французский архитектор Ле Корбюзье Человеку, сведущему в геометрии и работающему с нею, становятся доступны…все те высшие наслаждения, которые называются наслаждениями математического порядка… Человеку, сведущему в геометрии и работающему с нею, становятся доступны…все те высшие наслаждения, которые называются наслаждениями математического порядка… Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Стоит поразмыслить о прошлом, вспомнить то, что было ранее, и мы будем ошеломлены, видя, что окружающий нас мир- это мир геометрии, чистой, истинной, в наших глазах. Всё вокруг- геометрия. Никогда мы не видели так ясно таких форм, как круг, прямоугольник, угол, цилиндр, шар, выполненных так отчётливо, с такой тщательностью и так уверенно» Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Стоит поразмыслить о прошлом, вспомнить то, что было ранее, и мы будем ошеломлены, видя, что окружающий нас мир- это мир геометрии, чистой, истинной, в наших глазах. Всё вокруг- геометрия. Никогда мы не видели так ясно таких форм, как круг, прямоугольник, угол, цилиндр, шар, выполненных так отчётливо, с такой тщательностью и так уверенно»

Используемая литература 1. «Геометрия класс». Авторы –Л.С. Атанасян и др. 1. «Геометрия класс». Авторы –Л.С. Атанасян и др. 2. «Справочник по начальной математике» Автор - С. Лукьянченко. 2. «Справочник по начальной математике» Автор - С. Лукьянченко. 3. «Справочник по высшей математике» Автор - С. Лукьянченко. 3. «Справочник по высшей математике» Автор - С. Лукьянченко. 4. «Математическая энциклопедия» Авторы - М. Ю. Серебряков, Л. В. Кузнецова 4. «Математическая энциклопедия» Авторы - М. Ю. Серебряков, Л. В. Кузнецова 5. «Школьникам о математике и математиках» Автор- М.М. Лиман. 5. «Школьникам о математике и математиках» Автор- М.М. Лиман. 6. «История математики в школе.VII- VIII классы».Автор- Г.И. Глейзер. 6. «История математики в школе.VII- VIII классы».Автор- Г.И. Глейзер. 7. «Словарь-справочник по математике». Автор-Н.И. Александров, И.П. Ярандай. 7. «Словарь-справочник по математике». Автор-Н.И. Александров, И.П. Ярандай. 8. «Математика в понятиях, определениях и терминах» Авторы- О. В. Мантуров 8. «Математика в понятиях, определениях и терминах» Авторы- О. В. Мантуров