Угол между плоскостями Подготовка к ЕГЭ. Решение задач С – 2 методом координат. Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ 985

Расстояние между параллельными плоскостями Расстояние между параллельными плоскостями и вычисляется по формуле: Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ 985

Угол между плоскостями Пусть в декартовой системе координат плоскости и заданы уравнениями: a b c A Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ 985

Угол между плоскостями Пусть в декартовой системе координат плоскости и заданы уравнениями: Вектора нормалей плоскостей имеют координаты Тогда угол между плоскостями и определяется формулой: Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ 985

Задача 1. Основание прямой четырехугольной призмы АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 – прямоугольник АВСD, в котором АВ = 5, AD = 11. Найти тангенс угла между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD перпендикулярно прямой BD 1, если расстояние между прямыми АС и B 1 D 1 равно 12. Решение. Введем систему координат. В(0;0;0), А(5;0;0), С(0;11;0), D 1 (5;11;12) Координаты нормали к плоскости сечения: Координаты нормали к плоскости основания: – острый угол, то D A B C D1D1 A1A1 B1B1 C1C1 х у z N Угол между плоскостями Ответ: 0,5. Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ 985

Задача 2. В основании треугольной пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник АВС. Угол А – прямой. АС = 8, ВС = 219. Высота пирамиды SA равна 6. На ребре АС взята точка М так, что АМ = 2. Через точку М, вершину В и точку N – середину ребра SC – проведена плоскость α. Найти двугранный угол, образованный плоскостью α и плоскостью основания пирамиды. A S x B C M N y z Решение. Введем систему координат. Тогда А (0;0;0), С (0;8;0), М (0;2;0), N (0;4;3), S (0;0;6), Нормаль к плоскости (АВС) вектор Нормаль к плоскости (ВМN) Угол между плоскостями Ответ: 60°. Уравнение плоскости (ВМN): Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ 985

Задача 3. Основание четырехугольной пирамиды PABCD квадрат со стороной, равной 6, боковое ребро PD перпендикулярно плоскости основания и равно 6. Найдите угол между плоскостями (BDP) и (BCP). Решение. 1. Проведём медиану DF равнобедренного треугольника CDP (ВС = PD = 6) Значит DF PC. И из того, что BC (CDP), следует что DF BC, значит DF (PCB) A D C B P F 2. Так как AC DB и AC DP, то AC (BDP) 3. Таким образом, угол между плоскостями (BDP) и (BCP) находится из условия: Угол между плоскостями Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ 985

Задача 3. Основание четырехугольной пирамиды PABCD квадрат со стороной, равной 6, боковое ребро PD перпендикулярно плоскости основания и равно 6. Найдите угол между плоскостями (BDP) и (BCP). Решение.4. Выберем систему координат. Координаты точек: 5. Тогда вектора будут иметь следующие координаты: 6. Вычисляя значения, находим:, значит A D C B P F z x y Угол между плоскостями Ответ: Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ 985

Задача 4. В единичном кубе АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите угол между плоскостями (AD 1 E) и (D 1 FC), где точки E и F - середины ребер А 1 В 1 и В 1 С 1 соответственно. Решение:1.Введем прямоугольную систему координат и определим координаты точек: 2. Составим уравнение плоскости (AD 1 E): 3. Составим уравнение плоскости (D 1 FC): - нормальный вектор плоскости (AD 1 Е). - нормальный вектор плоскости (D 1 FС). Угол между плоскостями х у z Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ 985

Задача 4. В единичном кубе АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите угол между плоскостями (AD 1 E) и (D 1 FC), где точки E и F - середины ребер А 1 В 1 и В 1 С 1 соответственно. Решение: 4. Найдем косинус угла между плоскостями по формуле Ответ: Угол между плоскостями х у z Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ 985

Задача 5. Отрезок, соединяющий центр основания правильной треугольной пирамиды с серединой бокового ребра, равен стороне основания. Найти угол между смежными боковыми гранями пирамиды. Решение: х у z 1.Введем прямоугольную систему координат и определим координаты точек А, В, С: К Пусть сторона основания равна 1. Для определенности рассмотрим грани SAC и SBC 2. Найдем координаты точки S: Е Угол между плоскостями Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ 985

Задача 5. Отрезок, соединяющий центр основания правильной треугольной пирамиды с серединой бокового ребра, равен стороне основания. Найти угол между смежными боковыми гранями пирамиды. Решение: х у z К Е SO найдем из OSB: Угол между плоскостями Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ 985

Задача 5. Отрезок, соединяющий центр основания правильной треугольной пирамиды с серединой бокового ребра, равен стороне основания. Найти угол между смежными боковыми гранями пирамиды. Решение: х у z К Е 3. Уравнение плоскости (SAC): - нормальный вектор плоскости (SAC). 4. Уравнение плоскости (SBC): - нормальный вектор плоскости (SВC). Угол между плоскостями Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ 985

Задача 5. Отрезок, соединяющий центр основания правильной треугольной пирамиды с серединой бокового ребра, равен стороне основания. Найти угол между смежными боковыми гранями пирамиды. Решение: х у z К Е 5. Найдем косинус угла между плоскостями по формуле Ответ: Угол между плоскостями Ненашева Н.Г. учитель математики ГБОУ СОШ 985