Многоугольники Рассмотрим фигуру, составленную из отрезков AB, BC, CD, DE, EF, FA так, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек. Такая фигура называется многоугольником (рис.1). Точки А, В, С, D, E, F называются вершинами, а отрезки AB, BC, CD, DE, EF, FA – сторонами многоугольника. Сумма длин всех сторон называется периметром многоугольника. СВ А ЕF D Рис.1

Многоугольник с п вершинами называется п - угольником; он имеет п сторон. Примером многоугольника является треугольник. На рисунке 2 изображены четырехугольник АВСD и шестиугольник А 1 А 2 А 3 А 4 А 5 А 6. Фигура, изображенная на рисунке 3, не является многоугольником, т.к. несмежные отрезки С 1 С 5 и С 2 С 3 имеют общую точку. А ВС D A1A1 A2A2 A3A3 A4A4 A5A5 A6A6 С1С1 С2С2 С3С3 С4С4 С5С5 Рис. 2Рис. 3

Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне, называются соседними. Отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины, называется диагональю многоугольника. Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней, а другая – внешней областью многоугольника. На рисунке 4 внутренние области многоугольников закрашены. Фигуру, состоящую из сторон многоугольника и его внутренней области, также называют многоугольником. Рис. 4

Выпуклый многоугольник Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. На рисунке 5 многоугольник F 1 является выпуклым, а многоугольник F 2 – невыпуклым. Рассмотрим выпуклый п -угольник, изображенный на рисунке 6,а. Углы А п А 1 А 2, А 1,А 2, А 3, …,А п -1 А п А 1 называются углами этого многоугольника. Найдем их сумму. Для этого соединим диагоналями вершину А 1 с другими вершинами. В результате получим п – 2 треугольника (рис.6,б), сумма углов Каждого треугольника равна 180°, поэтому сумма углов многоугольника А 1 А 2 …А п равна ( п –2)180°. Итак, сумма углов выпуклого п - угольника равна ( п –2)180°. F1F1 F2F2 А1А1 А2А2 А3А3 АпАп А п -1 А2А2 А3А3 А1А1 АпАп Рис. 5 Рис. 6 а. б.

Четырехугольник Каждый четырехугольник имеет четыре вершины, четыре стороны и две диагонали (рис. 7). Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными. Две вершины, не являющиеся соседними, также называются противоположными. Четырехугольники бывают выпуклые и невыпуклые. На рисунке 7,а изображен выпуклый четырехугольник, а на рисунке 7,б – невыпуклый. Каждая диагональ выпуклого четырехугольника разделяет его на два треугольника. Одна из диагоналей невыпуклого четырехугольника также разделяет его на два треугольника (рис.7, б). Так как сумма углов выпуклого п -угольника равна ( п –2)180°, то сумма углов выпуклого четырехугольника Равна 360°. А1А1 А2А2 А3А3 А4А4 А2А2 А3А3 А4А4 Рис. 7 а б

Параллелограмм Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. На рисунке 8 изображен параллелограмм АВСD: AB ll CD, AB ll CD, AD ll BC. Параллелограмм является выпуклым четырехугольником. А BC D Рис.8

1º. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. Рассмотрим параллелограмм АВСD. Диагональ АС разделяет его на два треугольника: АВС и АDС. Эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам (АС – общая сторона, угол 1 = угол 2 и угол 3 = угол 4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей АС параллельных прямых АВ и СD, АD и ВС соответственно). Поэтому AB = CD, AD = BC уголB = уголD. Далее, пользуясь равенствами углов 1 и 2, 3 и 4, получаем угол А = угол 1 + угол 3 = угол 2 + угол 4 = угол С А ВС D Рис. 9

2 º. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Пусть О – точка пересечения диагоналей АC и ВD параллелограмма АВСD ( рис. 10). Треугольники АОВ и СOD равны по стороне и двум прилежащим углам ( АВ = СD как противоположные стороны параллелограмма, угол 1 = угол 2 и угол 3 = угол 4 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и СD секущими АС и ВD соответственно). Поэтому АО = ОС и ОВ = ОD, что и требовалось доказать. 2 O A BC D Рис. 10

Признаки параллелограмма. 1 º. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм. 2 º. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм. 3 º. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм. Свойства параллелограмма

Трапеция Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами. Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны. Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной. основание Боковая сторона Равнобедренная трапецияПрямоугольная трапеция

Прямоугольник Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые. Так как прямоугольник является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма: в прямоугольнике противоположные стороны равны, а диагонали точкой пересечения делятся пополам. Диагонали прямоугольника равны. На рисунке 14 изображен прямоугольник АВСD с диагоналями АС и ВD. Прямоугольные треугольники АСD и DВА равны по двум катетам. Отсюда следует, что гипотенузы этих треугольников равны, т. е. АC = ВD. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник. A B C D Рис. 14

Ромб и квадрат. Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны. Т. к. ромб является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограммом. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны. 1.Все углы квадрата прямые (рис. 16, а). 2. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам (рис. 16, б). Рис. 16 Свойства квадрата аб

Рассмотрим ромб АВСD (рис. 15). Требуется доказать, что АС ВD и каждая диагональ делит соответствующие углы ромба пополам. Докажем, например, что угол ВАС = угол DАС. По определению ромба АВ = АD, поэтому треугольник ВАD равнобедренный. Так как ромб – параллелограмм, то его диагонали точкой О пересечения делятся пополам. Следовательно, АО – медиана равнобедренного треугольника ВАD, а значит, высота и биссектриса этого треугольника. поэтому АС ВD и угол ВАС = угол DАС. A B C D O Рис. 17

Осевая и центральная симметрии Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему (рис. 18, а). Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе. На рисунке 18, б точки М и М1, N и N1 симметричны относительно прямой b, а точка Р симметрична самой себе относительно этой прямой. A A1A1 a N1N1 N M1 M b P a б Рис. 18

Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией. Фигуры, обладающие осевой симметрии