Графический метод решения.

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях. Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях. Готовя данную работу, я ставила цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами. Готовя данную работу, я ставила цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами.

Рассмотрим уравнение: Рассмотрим уравнение: f( a, b, c…k, x)=φ(a, b, c… k, x), где a, b, c…k, x – переменные величины. Любая система значений переменных, при которой и левая, и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой значений переменных. f( a, b, c…k, x)=φ(a, b, c… k, x), где a, b, c…k, x – переменные величины. Любая система значений переменных, при которой и левая, и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой значений переменных. Переменные а, b, c…k, которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение – уравнением, содержащим параметры. Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита(a, b, c, d…). Переменные а, b, c…k, которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение – уравнением, содержащим параметры. Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита(a, b, c, d…). Рассмотрим уравнение: Рассмотрим уравнение: f( a, b, c…k, x)=φ(a, b, c… k, x), где a, b, c…k, x – переменные величины. Любая система значений переменных, при которой и левая, и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой значений переменных. f( a, b, c…k, x)=φ(a, b, c… k, x), где a, b, c…k, x – переменные величины. Любая система значений переменных, при которой и левая, и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой значений переменных. Переменные а, b, c…k, которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение – уравнением, содержащим параметры. Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита(a, b, c, d…). Переменные а, b, c…k, которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение – уравнением, содержащим параметры. Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита(a, b, c, d…).

Пусть А – множество всех допустимых значений а, B – множество всех допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х, т.е. а Є А, b Є B, …, x Є X. Если у каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, …, k и подставить их в первоначальное уравнение, то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным. Пусть А – множество всех допустимых значений а, B – множество всех допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х, т.е. а Є А, b Є B, …, x Є X. Если у каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, …, k и подставить их в первоначальное уравнение, то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.

Алгоритм решения уравнений с параметрами графическим способом: Алгоритм решения уравнений с параметрами графическим способом: 1. Находим область определения уравнения. 1. Находим область определения уравнения. 2. Выражаем a как функцию от х. 2. Выражаем a как функцию от х. 3. В системе координат XОA строим графики функции а = f(х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения. 3. В системе координат XОA строим графики функции а = f(х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения. Находим точки пересечения прямой а = с, где с Є (-;+) с графиком функции а = f(х).Если прямая а = с пересекает график а = f (х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а = f(х) относительно х. Находим точки пересечения прямой а = с, где с Є (-;+) с графиком функции а = f(х).Если прямая а = с пересекает график а = f (х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а = f(х) относительно х. 4. Записываем ответ. 4. Записываем ответ.

Примеры: Примеры: 1. Сколько корней имеет уравнение |x 2 -2x-3|=a в зависимости от значения параметра a? 1. Сколько корней имеет уравнение |x 2 -2x-3|=a в зависимости от значения параметра a? Построим график функции y=x 2 - 2x-3=x 2 - 2x+1-4 =(x-1) Значит, график этой функции получается путем смещения графика функции y=x 2 на единицу вправо и на 4 вниз. Построим график функции y=x 2 - 2x-3=x 2 - 2x+1-4 =(x-1) Значит, график этой функции получается путем смещения графика функции y=x 2 на единицу вправо и на 4 вниз. Теперь, для того, чтобы построить график функции y=|x 2 -2x-3|, необходимо часть графика, находящуюся в верхней полуплоскости, сохранить, а часть графика, находящуюся в нижней полуплоскости, симметрично отразить в верхнюю полуплоскость. Теперь, для того, чтобы построить график функции y=|x 2 -2x-3|, необходимо часть графика, находящуюся в верхней полуплоскости, сохранить, а часть графика, находящуюся в нижней полуплоскости, симметрично отразить в верхнюю полуплоскость.

Для того, чтобы построить график функции y=|f(X)|, находящуюся в верхней полуплоскости, сохранить, а часть графика, находящуюся в нижней полуплоскости, симметрично отобразить в верхнюю полуплоскость

Ответ: Ответ: в уравнении |x 2 -2x-3|=a, если: в уравнении |x 2 -2x-3|=a, если: 1) а=0, то уравнение имеет два корня 1) а=0, то уравнение имеет два корня 2) а Є (0;4), то уравнение имеет четыре корня 2) а Є (0;4), то уравнение имеет четыре корня 3) а=4, то уравнение имеет три корня 3) а=4, то уравнение имеет три корня 4) а Є (4;+), то уравнение имеет два корня 4) а Є (4;+), то уравнение имеет два корня 5) а Є (-;0), то корней нет. 5) а Є (-;0), то корней нет.

А теперь решим данное уравнение аналитическим способом. А теперь решим данное уравнение аналитическим способом. |x 2 -2x-3|=a |x 2 -2x-3|=a 1) Сразу скажем, что при а

б) 16+4а>0 б) 16+4а>0 а>-4. С учетом ОДЗ а Є [0;+). Значит уравнение в этом случае имеет 2 корня. а>-4. С учетом ОДЗ а Є [0;+). Значит уравнение в этом случае имеет 2 корня. в) 16+4а

II случай. II случай. -x 2 +2x+3=a -x 2 +2x+3=a -x 2 +2x+3-a=0 -x 2 +2x+3-a=0 D=4+4(3-a)=16-4a D=4+4(3-a)=16-4a a) 16-4а=0 a) 16-4а=0 а=4. Значит в этом случае уравнение имеет один корень а=4. Значит в этом случае уравнение имеет один корень б) 16-4a>0 б) 16-4a>0 a

Определив все решения при различных значениях а мы можем сделать следующие выводы: Определив все решения при различных значениях а мы можем сделать следующие выводы: в уравнении |x 2 -2x-3|=a, если: в уравнении |x 2 -2x-3|=a, если: 1) а=0, то уравнение имеет два корня 1) а=0, то уравнение имеет два корня 2) а Є (0;4), то уравнение имеет четыре корня 2) а Є (0;4), то уравнение имеет четыре корня 3) а=4, то уравнение имеет три корня 3) а=4, то уравнение имеет три корня 4) а Є (4;+), то уравнение имеет два корня 4) а Є (4;+), то уравнение имеет два корня 5) а Є (-;0), то корней нет 5) а Є (-;0), то корней нет

Итак, я считаю, что метод решения данных уравнений графическим способом наиболее действенный и легкий. А свой доклад я бы хотела закончить словами А.Н.Колмогорова: Итак, я считаю, что метод решения данных уравнений графическим способом наиболее действенный и легкий. А свой доклад я бы хотела закончить словами А.Н.Колмогорова: «В основе большинства математических открытий лежит какая-либо простая идея: наглядное геометрическое построение, новое элементарное неравенство и т.п. Нужно только надлежащим образом применить эту простую идею к решению задачи, которая с первого взгляда кажется недоступной.» «В основе большинства математических открытий лежит какая-либо простая идея: наглядное геометрическое построение, новое элементарное неравенство и т.п. Нужно только надлежащим образом применить эту простую идею к решению задачи, которая с первого взгляда кажется недоступной.»