Первообразная

Определение Интегрирование является операцией обратной дифференцированию. Вычисление интегралов сводится к нахождению функции, производная которой равна заданной функции. Рассмотрим эту операцию отдельно. О п р е д е л е н и е. Первообразной для функции f называется такая функция F, производная которой равна данной функции. Иными словами, равенство F = f можно прочесть двумя способами: f – производная функции F или F – первообразная для функции f. Для обозначения первообразной традиционно используют знак неопределенного интеграла, т.е. интеграла без указания пределов интегрирования:

Свойства первообразной 1. Если F – первообразная для функции f, то F + C, где C - константа, также является первообразной для той же функции. (F+С) = F + С = f + 0 = f. 2. Если F 1 и F 2 – две первообразные для одной и той же функции f, то они отличаются на постоянное слагаемое. Действительно, если F 1 = f и F 2 = f, то (F 1 – F 2 ) = F 1 – F 2 = f – f = 0. F 1 – F 2 = С. 3. Действительно, пусть F и G – первообразные для функции f и g соответственно. Тогда F +G является первообразной для функции f+g : (F + G) = F + G = f + g 4.

5. Линейная замена переменной. Т е о р е м а. Пусть F – первообразная для функции f. Тогда Действительно, вычислим производную от F(kx+b) : ( ·F(kx+b)) = ·F (kx+b) = ·k ·f(kx+b) = f(kx+b). Отсюда является первообразной для функции f(kx+b). Заметим, что операция дифференцирования совершается формально – нужно запомнить несколько правил, а их будет достаточно для нахождения производных. Не так обстоит дело с интегрированием, например нет формулы для интегрирования произведения и частного функций. Поэтому составлены обширные таблицы интегралов (первообразных) и появляется новая задача – научиться преобразовывать вычисляемые интегралы, сводя их к табличным. Линейная замена переменной

Таблица первообразных Таблицу первообразных получают с помощью таблицы производных. Проверить таблицу можно, делая обратную операцию, т.е. вычисляя производные.

Решение задач Примеры нахождения первообразных

Является ли функция F(x) = x 3 + 2x 2 - 3x + 20 первообразной для функции f(x) = 3x 2 + 4x - 3? Функция F(x) = x 3 + 2x 2 - 3x + 20 будет являться первообразной для функции f(x) = 3x 2 + 4x - 3, если F (x)=f(x) Решение: F (x) = (x 3 + 2x 2 - 3x + 20) = 3x 2 + 4x - 3 =f(x)f(x) Вывод. Функция F(x) является первообразной для функции f(x) Решение задач 4.

Решение задач Найдите первообразную для функции 5.5. график которой проходит через точку М(0; 1) Решение: Т.к. точка М(0; 1) принадлежит графику функции F(x), то F(0)=1: Таким образом:

Графики первообразных для функции

Задачи для самостоятельного решения Найдите первообразную F(x) функции y = 2x 9 + 4x 3 – 5x + 1. Первообразная функции y = 2x 9 равна: Первообразная функции y = 4x 3 равна: Первообразная функции y = -5x равна: Первообразная функции y = 1 равна: Таким образом: Р е ш е н и е :

Задачи для самостоятельного решения Найдите первообразную F(x) для функции график которой проходит через точку М ( -0,5; 2 ) Р е ш е н и е : Т.к. точка М(-0,5; 2) принадлежит графику функции F(x), то F(-0,5)=2: или ? показать графики или

Графики первообразных для функции

Лейбниц Готфрид Вильгельм ( ) Немецкий математик, физик, философ, создатель Берлинской академии наук. Основоположник дифференциального и интегрального исчисления, ввел большую часть современной символики математического анализа. В работах Лейбница впервые появились идеи теории алгоритмов. «Предупреждаю, чтобы остерегались отбрасывать dx, ошибка, которую часто допускают и которая препятствует продвижению вперед». Г. В. Лейбниц Не правильно!

Ньютон Исаак ( ) Английский физик и математик. Создал современную механику (законы Ньютона) и открыл закон всемирного тяготения. В его главном сочинении «Математические начала натуральной философии» дан математический вывод основных фактов о движении небесных тел. Один из создателей дифференциального и интегрального исчисления. «Когда величина является максимальной или минимальной, в этот момент она не течет ни вперед, ни назад». И. Ньютон Правильно!

Презентацию разработал Мулёвкин Антон Михайлович учитель информатики и математики МОУ Остафьевской средней общеобразовательной школы Подольского района Московской области