Методы решения задач

Правило суммы Если конечные множества не пересекаются, то число элементов X U Y {или} равно сумме числа элементов множества X и числа элементов множества Y. То есть, если на первой полке стоит X книг, а на второй Y, то выбрать книгу из первой или второй полки, можно X+Y способами.

Примеры задач Ученик должен выполнить практическую работу по математике. Ему предложили на выбор 17 тем по алгебре и 13 тем по геометрии. Сколькими способами он может выбрать одну тему для практической работы? Решение: X=17, Y=13 По правилу суммы X U Y=17+13=30 тем. Имеется 5 билетов денежно-вещевой лотереи, 6 билетов спортлото и 10 билетов автомотолотереи. Сколькими способами можно выбрать один билет из спортлото или автомотолотереи? Решение: Так как денежно-вещевая лотерея в выборе не участвует, то всего 6+10=16 вариантов.

Правило произведения Если элемент X можно выбрать k способами, а элемент Y-m способами то пару (X,Y) можно выбрать k*m способами. То есть, если на первой полке стоит 5 книг, а на второй 10, то выбрать одну книгу с первой полки и одну со второй можно 5*10=50 способами.

Примеры задач Переплетчик должен переплести 12 различных книг в красный, зеленый и коричневые переплеты. Сколькими способами он может это сделать? Решение: Имеется 12 книг и 3 цвета, значит по правилу произведения возможно 12*3=36 вариантов переплета. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево? Решение: В таких числах последняя цифра будет такая же, как и первая, а предпоследняя - как и вторая. Третья цифра будет любой. Это можно представить в виде XYZYX, где Y и Z -любые цифры, а X - не ноль. Значит по правилу произведения количество цифр одинаково читающихся как слева направо, так и справа налево равно 9*10*10=900 вариантов.

Пересекающиеся множества Но бывает, что множества X и Y пересекаются, тогда пользуются формулой XυY=X+Y-XY, где X и Y - множества, а XY – область пересечения. XY

Примеры задач 20 человек знают английский и 10 - немецкий, из них 5 знают и английский, и немецкий. Сколько Человек всего? Ответ: =25 человек.

Примеры задач Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским - 28, французским Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским - 10, немецким и французским - 5, всеми тремя языками - 3. Сколько туристов не владеют ни одним языком? Решение: Выразим условие этой задачи графически. Обозначим кругом тех, кто знает английский, другим кругом - тех, кто знает французский, и третьим кругом - тех, кто знают немецкий. Всеми тремя языками владеют три туриста, значит, в общей части кругов вписываем число 3. Английским и французским языком владеют 10 человек, а 3 из них владеют еще и немецким. Следовательно, только английским и французским владеют 10-3=7 человек. Аналогично получаем, что только английским и немецким владеют 8-3=5 человек, а немецким и французским 5-3=2 туриста. Вносим эти данные в соответствующие части. Определим теперь, сколько человек владеют только одним из перечисленных языков. Немецкий знают 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими языками, следовательно, только немецкий знают 20 человек. Аналогично получаем, что одним английским владеют 13 человек, а одним французским - 30 человек. По условию задачи всего 100 туристов =80 туристов знают хотя бы один язык, следовательно, 20 человек не владеют ни одним из данных языков.

Размещение без повторений Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр каждый, так чтобы все цифры были различны? Это пример задачи на размещение без повторений. Размещаются здесь 10 цифр по 6. А варианты, при которых одинаковые цифры стоят в разном порядке считаются разными. Если X-множество, состоящие из n элементов, mn, то размещением без повторений из n элементов множества X по m называется упорядоченное множество X, содержащее m элементов называется упорядоченное множество X, содержащее m элементов. Количество всех размещений из n элементов по m обозначают n! - n-факториал (factorial анг. сомножитель) произведение чисел натурального ряда от 1 до какого либо числа n n!=1*2*3*...*n0!=1 Значит, ответ на вышепоставленную задачу будет

Примеры задач Сколькими способами 4 юноши могут пригласить четырех из шести девушек на танец? Решение: два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами считаются, разными, поэтому: Возможно 360 вариантов.

Перестановки без повторений В случае n=m (см. размещения без повторений) из n элементов по m называется перестановкой множества x. Количество всех перестановок из n элементов обозначают P n. P n =n! Действительно при n=m:

Примеры задач Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4,5, если цифры в числе не повторяются? Решение: Найдем количество всех перестановок из этих цифр: P 6 =6!=720 0 не может стоять впереди числа, поэтому от этого числа необходимо отнять количество перестановок, при котором 0 стоит впереди. А это P 5 =5!=120. P 6 -P 5 = =600

Примеры задач Квартет Проказница Мартышка Осел, Козел, Да косолапый Мишка Затеяли играть квартет … Стой, братцы стой! – Кричит Мартышка, - погодите! Как музыке идти? Ведь вы не так сидите… И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет. Тут пуще прежнего пошли у низ раздоры И споры, Кому и как сидеть… Вероятно, крыловские музыканты так и не перепробовали всех возможных мест. Однако способов не так уж и много. Сколько? Здесь идет перестановка из четырех, значит, возможно P 4 =4!=24 варианта перестановок.

Сочетание без повторений Сочетанием без повторений называется такое размещение, при котором порядок следования элементов не имеет значения. Всякое подмножество X состоящее из m элементов, называется сочетанием из n элементов по m. Таким образом, количество вариантов при сочетании будет меньше количества размещений. Число сочетаний из n элементов по m обозначается

Примеры задач Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке (все три кнопки нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр. Решение: Так как кнопки нажимаются одновременно, то выбор этих трех кнопок – сочетание. Отсюда возможно 120 вариантов.

Примеры задач У одного человека 7 книг по математике, а у второго – 9. Сколькими способами они могут обменять друг у друга две книги на две книги. Решение: Так как надо порядок следования книг не имеет значения, то выбор 2 ух книг - сочетание. Первый человек может выбрать 2 книги 21 способами. Второй человек может выбрать 2 книги 36 способами. Значит всего по правилу произведения возможно 21*36=756 вариантов.

Примеры задач При игре в домино 4 игрока делят поровну 28 костей. Сколькими способами они могут это сделать? Первый игрок делает выбор из 28 костей. Второй из 28-7=21 костей, третий 14, а четвертый игрок забирает оставшиеся кости. Следовательно, возможно

Размещения и сочетания с повторениями Часто в задачах по комбинаторике встречаются множества, в которых какие-либо компоненты повторяются. Например: в задачах на числа – цифры. Для таких задач при размещениях используется формула: А для сочетаний –

Примеры задач Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5? Решение. Так как порядок цифр в числе существенен, цифры могут повторяться, то это будут размещения с повторениями из пяти элементов по три, а их число равно

Примеры задач В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: клеры, песочные, наполеоны и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных. Решение: Покупка не зависит от того, в каком порядке укладывают купленные пирожные в коробку. Покупки будут различными, если они отличаются количеством купленных пирожных хотя бы одного сорта. Следовательно, количество различных покупок равно числу сочетаний четырех видов пирожных по семь

Примеры задач Обезьяну посадили за пишущую машинку с 45 клавишами, определить число попыток, необходимых для того, чтобы она наверняка напечатала первую строку романа Л.Н. Толстого «Анна Каренина», если строка содержит 52 знака и повторений не будет? Решение: порядок букв имеет значение. Буквы могут повторяться. Значит, всего вариантов:

Перестановки с повторениями где n-количество всех элементов, n 1,n 2,…,n r -количество одинаковых элементов.

Примеры задач Сколькими способами можно переставить буквы слова «ананас»? Решение: всего букв 6. Из них одинаковы n 1 «а»=3, n 2 «н»=2, n 3 «с»=1. Следовательно, число различных перестановок равно

Спасибо за внимание