Представление информации. Системы счисления.

Счет появился тогда, когда человеку потребовалось информировать своих сородичей о количестве обнаруженных им предметов. Сначала люди просто различали один предмет перед ними или нет. Если предмет был не один, то говорили «много».

Самым простым инструментом счета были пальцы на руках человека С их помощью можно было считать до 5, а если взять две руки, то и до 10.

Одна из таких систем счета впоследствии и стала общеупотребительной - десятичная.

В древние времена люди ходили босиком. Поэтому они могли пользоваться для счета пальцами как рук, так и ног. Таким образом они могли, казалось бы, считать лишь до двадцати. Но это не совсем так, люди могли достигать значительно больших чисел, 1 человек - это 20, 2 человека - это два раза по 20 и т.д.

Запомнить большие числа было трудно, поэтому к «счетной машине» рук и ног добавляли механические приспособления: камешки, зерна, ракушки и т.д. Например, перуанцы для запоминания чисел использовали разноцветные шнуры с завязанными на них узлами.

С операциями сложения и вычитания люди имели дело задолго до того, как числа получили имена. Когда несколько групп сборщиков кореньев или рыболовов складывали в одно место свою добычу, они выполняли операцию сложения. С операцией умножения люди познакомились, когда стали сеять хлеб и увидели, что собранный урожай в несколько раз больше, чем количество посеянных семян. Когда добытое мясо животных или собранные орехи делили поровну между всеми, выполнялась операция деления.

Потребность в записи чисел появилась в очень древние времена, как только люди научились считать. Количество предметов изображалось нанесением черточек или засечек на какой-либо твердой поверхности: камне, глине и т.д. = Люди рисовали палочки на стенах и делали зарубки на костях животных или ветках деревьев

Археологами найдены такие "записи" при раскопках культурных слоев, относящихся к периоду палеолита ( тыс. лет до н. э.) Этот способ записи чисел называют единичной ("палочной, унарной) системой счисления Любое число в ней образуется повторением одного знака - единицы.

Единичная запись для таких чисел была громоздкой и неудобной, поэтому люди стали искать более компактные способы обозначать большие числа. Появились специальные обозначения для «пятерок», «десяток», «сотен» и т.д. = Чем больше зерна собирали люди со своих полей, чем многочисленнее становились их стада, тем большие числа становились им нужны.

Очень наглядной была система таких знаков у египтян. Египтяне придумали эту систему около лет тому назад. Это одна из древнейших систем записи чисел, известная человеку Египетская нумерация

Как и большинство людей для счета небольшого количества предметов Египтяне использовали палочки Такими путами египтяне связывали коров Если нужно изобразить несколько десятков, то иероглиф повторяли нужное количество раз Это мерная веревка, которой измеряли земельные участки после разлива Нила Цветок лотоса Египетская нумерация Головастик Египтяне поклонялись богу Ра, богу Солнца и, наверное, так изображали самое большое свое число Увидев такое число, обычный человек очень удивится и возденет руки к небу 1000 Поднятый палец - будь внимателен

Число в древнеегипетской записи будет выглядеть

Оказывается, умножение и деление они производили путем Последовательного удвоения чисел - фактически представлением числа в двоичной системе Как же египтяне считали?

В середине V в. до н. э. появилась запись чисел нового типа, так называемая алфавитная нумерация. Алфавитная нумерация В этой системе записи числа обозначались при помощи букв алфавита, над которыми ставились черточки: первые девять букв обозначали числа от 1 до 9, следующие девять - числа 10, 20, 30,..., 90, и следующие девять - числа 100, 200,..., 900. Таким образом, можно было обозначать любое число до 999. кириллическая нумерация

Запись алфавитными символами могла делаться в любом порядке, так как число получалось как сумма значений отдельных букв. Древнегреческая нумерация 90900

Эта форма записи чисел получила большое распространение в связи с тем, что имела полное сходство с греческой записью чисел. Если посмотреть внимательно, то увидим, что после "а" идет буква "в", а не "б" как следует по славянскому алфавиту, то есть используются только буквы, которые есть в греческом алфавите. Славянская кириллическая нумерация

Чтобы различать буквы и цифры, над числами ставился особый значок титло ( ~ ). До XVII века эта форма записи чисел была официальной на территории России, Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии. До сих пор православные церковные книги используют эту нумерацию. Так можно было записывать числа до 999. Для больших чисел использовался знак тысяч, который ставился впереди символа, обозначавшего число

Римская нумерация Это номера глав в книгах, указание века, числа на циферблате часов, и т. д. Возникла эта нумерация в древнем Риме. В ней имеются узловые числа: один, пять и т. д. Остальные числа получались путем прибавления или вычитания одних узловых чисел из других Это нумерация, известная нам и в настоящее время. С нею мы достаточно часто сталкиваемся в повседневной жизни. Например, четыре записывается как IV, т. е. пять минус один, восемь VIII (пять плюс три), сорокXL (пятьдесят минус десять), девяносто шестьXCVI (сто минус десять плюс пять и плюс еще один) и т. д.

Cамая распространенная на сегодняшний день нумерация, которой мы пользуемся в настоящее время. Применяемые в настоящее время цифры сложились в Индии около 400 г.н.э Арабы стали пользоваться подобной нумерацией около 800 г.н.э., а примерно в 1200 г.н.э. ее начали применять в Европе, однако в Европе они стали известны благодаря трудам арабских математиков, и потому за ними утвердилось название «арабские», хотя сами арабы вплоть до настоящего времени пользуются совсем другими символами. Арабские цифры: В России арабская нумерация стала использоваться при Петре I (до конца XVII века сохранилась славянская нумерация) Арабская нумерация

В древней Индии и Китае существовали системы записи, построенные на МУЛЬТИПЛИКАТИВНОМ ПРИНЦИПЕ. В таких системах для записи одинакового числа единиц, десятков, сотен или тысяч применяются одни и те же символы, но после каждого символа пишется название соответствующего разряда. Если десятки обозначить символом Д, а сотни - С, то число 325 будет выглядеть так : 3С2Д5.

Из арабского языка заимствовано и слово "цифра" (по-арабски "сыфр"), означающее буквально "пустое место" Это слово применялось для названия знака пустого разряда, и этот смысл сохраняло до XVIII века, хотя еще в XV веке появился латинский термин "нуль" (nullum - ничто). Форма индийских цифр претерпевала многообразные изменения. Та форма, которой мы сейчас пользуемся установилась в XVI веке. По мнению марроканского историка Абделькари Боунжира арабским цифрам в их первоначальном варианте было придано значение в строгом соответствии с числом углов, которые образуют фигуры

Системы счисления - это определенный способ записи чисел и соответствующие ему правила над ними. Позиционные Непозиционные Количественное значение каждой цифры в числе зависит от позиции, которую она занимает в числе. Десятичная система счисления Количественное значение каждой цифры в числе не зависит от позиции, которую она занимает в числе. Римская система счисления

десятичная СС: р = 10, цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 двоичная СС: р = 2, цифры: 0, 1 восьмеричная СС: р = 8, цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 шестнадцатеричная СС: р = 16, цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F Основание системы счисления – это количество цифр, используемых в той или иной системе счисления (обозначается р).

Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную = 1*2*2*2 + 1*2 + 1*1 = = = 1*2*2*2*2*2*2 + 1*2*2*2 + 1*2*2 + 1*1 = = = 7*8 + 2*1 = = = 1*16 + 5*1 = 21 10

Выполнить перевод числа в десятичную СС

Перевод целого десятичного числа N в позиционную систему счисления с основанием р Правило: - необходимо разделить число N на р; - полученный остаток дает цифру, стоящую в 1-ом разряде р-ричной записи числа N; - затем полученное частное снова разделить на р и запомнить полученный остаток – это цифра 2-го разряда и т.д.; - деление продолжается до тех пор, пока частное не окажется меньше, чем основание СС р. Это последнее частное будет цифрой старшего разряда = = 31 8

Перевод дробного десятичного числа N в позиционную систему счисления с основанием р ,5 10 = 0,1 2 25,5 10 = N 2 25,5 10 = , , 5 х2х2 1 0 = 11001, =

Выполнить перевод десятичных чисел N2N2 N N2N2 N N8N8 N8N8

Системы счисления 16- ричная двоичн ая ричная 9ABCDEF двоичн ая ричная двоичная

Системы счисления с основанием 2 n Для того чтобы целое двоичное число записать в СС с основанием р=2 n нужно: данное двоичное число разбить справа налево на группы по n цифр в каждой; если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов; рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в СС с основанием р=2 n

Системы счисления с основанием 2 n Для того чтобы произвольное двоичное число записать в СС с основанием р=2 n нужно: данное двоичное число разбить слева и справа (целую и дробную части) на группы по n цифр в каждой; если в последней правой и левой группах окажется меньше n разрядов, то их надо дополнить справа и слева нулями до нужного числа разрядов; рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в СС с основанием р=2 n

Выполнить перевод двоичного числа в восьмеричную СС = , = = ,

= N = N = N = N = N 2 FACC 16 = N 2 12F 16 = N 2 Выполните перевод чисел: