ВНЕВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ Куеда 2010 год Проект : Постновой Татьяны Ученицы 11 класса Руководитель : Просвирякова Е. Ю., учитель математики 1 квалификационной категории

1. Цель проекта 2. Историческая справка 3. Виды окружностей 4. Понятие вневписанной окружности 5. Свойства вневписанной окружности 6. Применение свойств вневписанной окружности к решению задач 7. Литература

Рассмотреть виды окружностей Вывести понятие вневписанной окружности Выяснить применение вневписанной окружности к решению задач На главную …

Исследования веков составили большой раздел планиметрии. Вот одна из замечательных теорем того времени : « Середины сторон треугольника, основания его высот и середины отрезков высот от вершины до точки их пересечения лежат на одной окружности ». Она обычно называется окружностью девяти точек ( по количеству замечательных точек, через которые она проходит ) Эта окружность найдена Л. Эйлером в 18 веке ( поэтому она часто называется окружностью Эйлера ). На главную…

окружность описаннаявписаннаявневписанная На главную…

Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон.

Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник вписанным в эту окружность. А В С

к1 В А С к3 Вневписанная окружность треугольника - это окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других его сторон. Для каждого треугольника существует три вневписанных окружности, которые расположены вне треугольника, почему они и получили название вневписанных. к2 На главную…

1. Определение вневписанной окружности, её центр и радиус Теорема 1 : Биссектриса внутреннего угла ВАС треугольника АВС и биссектрисы двух внешних углов при вершинах В и С пересекаются в одной точке Доказательство : проведём внешние биссектрисы из вершин В и С. Пусть они пересекутся в точке О. Докажем, что биссектриса угла ВАС проходит через точку О. Все точки биссектрисы СО равноудалены от сторон угла, значит, расстояние от точки О до прямых ВС и Ас равны, так как О лежит на биссектрисе угла ВСК, то есть ОК = ОН Аналогично ВС = АВ и ОР = ОН. Тогда очевидно, что точка О равноудалена от прямых АС и АВ, то есть лежит на биссектрисе угла ВАС. В А С Р К Н О На главную…

Центрами вневписанных окружностей являются точки пересечения биссектрис внешних углов треугольника. Радиусом вневписанных окружностей является отрезок перпендикуляра, проведённого из центра окружности к какой - либо стороне треугольника или её продолжению. о к Точка О- центр вневписанной окружности; Отрезок ОК- радиус окружности.

2. Свойства вневписанной окружности и её связь с основными элементами треугольника Теорема 2 : Пусть K - точка касания вневписанной окружности с продолжением стороны АС треугольника АВС. Тогда длина отрезка равна полупериметру треугольника АВС. Доказательство : 1). Пусть точки К 2 и К 3 точки касания вневписанной окружности с прямыми АВ и ВС соответственно. 2). СК 1 = СК 3, ВК 2 = ВК 3, АК 1 = АК 2 ( по свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки ). 3) Р = АС + СВ + АВ = = АС + СК 3 + ВК 3 + АВ = = АС + СК 1 + ВК 2 + АВ = = АК 1 + АК 2 = 2 АК 1 Значит, АК 1 = Р : 2

Теорема 3 : площадь S треугольника АВС равна S=r(p-a) Доказательство : самостоятельно Утверждения : Пусть S, p, a соответственно - площадь, полупериметр и сторона некоторого треугольника, а r- радиус вневписанной окружности, то Некоторые равенства :

Теорема 4 Радиус вневписанной окружности треугольника равен 1/3 среднего гармонического радиусов вневписанных окружностей этого треугольника, т. е. Доказательство данной теоремы вытекает из формулы среднего гармонического из неотрицательных :

Задача 1: Дан треугольник АВС со сторонами а, в, с. Найти длину отрезков, на которые делятся стороны треугольника точками касания вневписанных окружностей. Решение. Пусть AQ=y. Тогда AS=y,QC=CT=b-y,BS=BT, а поэтому c+y=a+(b-y), Аналогично можно вычислить и длины других отрезков.

Задача 2 Прямые PA и PB касаются окружности с центром О ( А и В – точки касания ). Проведена третья касательная к окружности, пересекающая отрезки РА и РВ в точках X и Y. Докажите, что величина угла XOY не зависит от выбора третьей касательной. Решение : < АРВ = φ.

Задача 3: к двум пересекающимся окружностям проведены две внешние касательные и общая внутренняя касательная. Докажите, что отрезок внутренней касательной, заключённый между внешними касательными, равен отрезку внешней касательной, заключённый между точками касания. Решение : Пусть даны 2 окружности. Точки касания окружностей с первой внешней касательной - А и В, со второй - С и D. Внутренняя касательная пересекает внешние в точках M и N. Продолжим прямые АВ и CD до их пересечения в точку К. тогда окружность с центром О является вписанной в треугольник MNK, а окружность с центром Z – вневписанной. Обозначим сторону MN треугольника MNK-a и его полупериметр - р. Тогда АК = p и ВК = p-a. Значит, АВ = а, то есть АВ =MN. Аналогично CD=MN. A M. Z. о СND k B

3. Решение стереометрических задач Утверждение 1. а ) ортогональная проекция вершины пирамиды на плоскость основания является центром вписанной окружности в многоугольник, лежащий в основании ; б ) высоты боковых граней - треугольников, проведённые из вершины пирамиды, равны и лежат на соответствующих боковых гранях ; в ) двугранные углы при основании пирамиды равны. Утверждение 2 а ) ортогональная проекция вершины пирамиды на плоскость основания равноудалена от прямых, содержащих стороны основания пирамиды ; б ) высоты боковых граней - треугольников, проведённые из вершины пирамиды, равны ; в ) плоскости боковых граней образуют равные углы с плоскостью основания

Задача 1: следует отметить, что если решать задачу в привычной формулировке, используемой в школьном учебнике : « Длины сторон основания треугольной пирамиды равны a, b и c. Боковые грани с основанием пирамиды составляют угол. Вычислить объём пирамиды.», то задача будет иметь только одно решение : на основании утверждения 1, вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды. Переформулируем задачу. « Длины сторон основания треугольной пирамиды равны a, b и c. Плоскости боковых граней с плоскостью основания пирамиды составляют угол К. вычислить объём пирамиды.» В этой формулировке условию задачи соответствует 4 пирамиды, имеющие общее основания и отличающиеся только высотами : После преобразования получим : Очевидно, что треугольник, лежащий в основании пирамиды, разносторонний, имеем 4 различных значения искомого объёма пирамиды, если треугольник равнобедренный - три, правильный - два.

Задача 1: В треугольнике ABC проведены высоты ВМ и CN, О - центр окружности, касающейся стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС. Известно, что ВС = 12, MN = 6. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ВОС. Задача 2: Вписанная окружность треугольника АВС касается стороны АС в точке D; DM- её диаметр. Прямая ВМ пересекает сторону АС в точке К. Докажите, что АК =DC. Задача 3: Найдите радиусы вписанной и вневписанной окружности треугольника со сторонами 5, 12, 13.

Задача 4: В треугольнике АВС с периметром 2p величина острого угла ВАС равна x. Окружность с центром в точке О касается стороны ВС и продолжения сторон АВ и АС в точках K? L и M соответственно. Точка D лежит внутри отрезка АК, AD=a. Найдите площадь треугольника DOC. Задача 5: Отрезок, соединяющий вершину А треугольника АВС с центром Q вневписанной окружности, касающийся стороны ВС, пересекает вписанную окружность этого треугольника в точке D. Докажите, что треугольник BDQ- равнобедренный. Задача 6: В треугольнике PQR величина угла QRP равна 60. Найдите расстояние между точками касания со стороной QR окружности радиуса 2, вписанной в треугольник, и окружности радиуса 3, касающейся продолжений сторон PQ и PR. На главную…

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для классов средней школы, 9 издание.- М.: Просвещение, Биссектрисы вписанной и вневписанной окружности треугольника // Квант 7, Гнеденко Б. В. Энциклопедический словарь юного математика. - М.: « Педагогика », Гохидзе М. Г. Вневписанная окружность // Математика в школе 3, Гохидзе М. Г. О вневписанной окружности и задачах по стереометрии.// Математика в школе 5, О свойствах центра вневписанной окружности // Квант 2, Шарыгин Н. Ф. Факультативный курс по математике : Решение задач. Учеб. пособие для 11 Кл. сред. шк. - М.: Просвещение, С На главную