Прямоугольная система координат в пространстве

Прямые с выбранными на них направлениями называются осями координат, а их общая точка – началом координат. Ох – ось абсцисс, Оу – ось ординат, Оz – ось аппликат.

Т ри плоскости, проходящие через оси координат Ох и Оу, Оу и Оz, Оz и Ох, называются координатными плоскостями: Оху, Оуz, Оxz. Плоскость Oxz Плоскость Oxy Плоскость Oyz O

В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел – её координаты: М (х, у, z), где х – абсцисса, у – ордината, z - аппликата.

Точка лежит на оси в координатной плоскости Ох (х,0,0) Оz (0,0,z) Oxy (x,y,0) Oyz (0,y,z) Oхz (x,0,z) Оу (0,у,0)

Координаты вектора в пространстве

Единичный вектор – вектор, длина которого равна 1. i – единичный вектор оси абсцисс, j – единичный вектор оси ординат, k – единичный вектор оси аппликат. x z y O

Любой вектор ā можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде: Нулевой вектор можно представить в виде: Координаты равных векторов соответственно равны, т.е., если ā { x 1 ; y 1 ; z 1 } = b { x 2 ; y 2 ; z 2 }, то x 1 = x 2, y 1 = y 2, z 1 = z 2.

1.Сумма векторов: a + b = { x 1 + x 2 ; y 1 + y 2 ; z 1 + z 2 }. 2.Разность векторов: a – b = { x 1 – x 2 ; y 1 – y 2 ; z 1 – z 2 }. 3.Произведение вектора на число: αā = { αx; αy; αz }.

Задача 401. Ответ: А 1 (2;-3;0); А 2 (2;0;5); А 3 (0;-3;5)

Задача 402. Ответ: С (0;1;1); В 1 (1;0;1); С 1 (1;11); Д 1 (1;1;0)

На уроке познакомились с прямоугольной системой координат, научились строить точку по заданным ее координатам и находить координаты точки, изображенной в заданной системе координат. Декартова система координат не единственная. К следующему уроку найти в Интернете другие системы координат.

Разложение вектора по координатным векторам

Векторы называются коллинеарными, если они параллельны. Если векторы а { x 1 ; y 1 ; z 1 } и b { x 2 ; y 2 ; z 2 }, то:

Самостоятельная работа 1 вариант 1. Даны векторы а {2; -4; 3} и b {-3; 1/2; 1}. Найдите координаты вектора с = a + b. 2. Даны векторы а {1; -2; 0}, b {3; -6; 0}, c {0; -3; 4}. Найдите координаты вектора p = 2a – 1/3b – c. 3. Найдите значения m и n, при которых векторы а {6; n; 1} и b {m; 16; 2} коллинеарны. 2 вариант 1. Даны векторы а {1; -3; -1} и b {-1; 2; 0}. Найдите координаты вектора с = a – b. 2. Даны векторы а {2; 4; -6}, b {-3; 1; 0}, c {3; 0; -1}. Найдите координаты вектора p = -1/2a + 2b – c. 3. Найдите значения m и n, при которых векторы а {-4; m; 2} и b {2; -6; n} коллинеарны.

Связь между координатами векторов и координатами точек

Вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а начало – с началом координат, называется радиус- вектором данной точки. Координаты любой точки равны соответствующим координатам её радус-вектора. М (x; y; z) OM (x; y; z) A (x 1 ; y 1 ; z 1 ), B (x 2 ; y 2 ; z 2 ) AB (x 2 – x 1 ; y 2 – y 1 ; z 2 – z 1 )

Простейшие задачи в координатах

1. Координаты середины отрезка. О А В С D х у z A (x 1 ; y 1 ; z 1 ), B (x 2 ; y 2 ; z 2 ), C (x; y; z) – середина АВ. ОС = ½ (ОА + ОВ), тогда 2. Вычисление длины вектора по его координатам: если а { x; y; z }, то 3. Расстояние между двумя точками:

Угол между векторами

О А В α Если а || b и а и b сонаправлены, то α = 0°. Если a || b и a и b противоположно направлены, то α = 180°. Если а b, то α = 90°.

Скалярное произведение векторов

1) a · b = | a | · | b | · cos(a ^ b) 2) a { x 1 ; y 1 ; z 1 } и b { x 2 ; y 2 ; z 2 } a · b = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 3) a 2 = | a | 2

х у z A B C D D1D1 A1A1 B1B1 C1C1 Решение: Введём систему координат: В(0; 0; 0), С(1; 0; 0), А(0; 1; 0), D(1; 1;0), B 1 (0; 0; 2), C 1 (1; 0; 2), D 1 (1; 1; 2), A 1 (0; 1; 2). Тогда, BD{1; 1; 0}, CD 1 = BA 1 {0; 1; 2}.

A х у z B C D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 M K.. N

469 (а) 469 (а) A х у z B C D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 N M K