Вишняков А.Ю. 2008год

В данной презентации достаточно полно изложена теория решения различных видов рациональных уравнений, за исключением линейных и квадратных за исключением линейных и квадратных уравнений, а также общей теории решения уравнений 3-й и 4-й степеней. Нет здесь и примеров, решаемых с помощью теоремы Безу. Каждый вид уравнения сопровождается решением соответствующего примера. Данные материалы могут быть использованы частично на уроках алгебры в обычных классах, но в большей мере пригодятся для изучения этой темы в классах с углубленным изучением математики.

Рациональные уравнения Целые Способ подстановки возвратные распадающиеся биквадратные (x + a) 4 + (x + b) 4 = c (x + a) 4 + (x + b) 4 = c симметричные 3-го3-го и 4-го порядка4-го ОднородноеОднородное 2-го порядка (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m Дробные end

Способ подстановки При решении некоторых целых рациональных уравнений есть смысл ввести новую переменную величину, обозначив некоторое рациональное выражение новой буквой. Например, в уравнении, где Р(х) – многочлен, удобно ввести новую переменную y=Р(х), решить полученное квадратное уравнение относительно y и, наконец, решить уравнение Р(х)= yо, где yо – корень уравнения Обратно в меню Пример

Пример Решите уравнение Решение. Введем новую переменную. Пусть Тогда получим уравнение Находим корень у = 1 и делаем обратную подстановку. Ответ: 2; 3. Обратно в меню

Распадающееся уравнение Р Рациональное уравнение называется распадающимся, если его можно привести к виду, где – рациональные выражения с переменной х. Д Для решения воспользуемся равносильным переходом П Применяемые приемы разложения на множители: - вынесение общего множителя за скобки; - способ группировки; -формулы сокращенного умножения. Обратно в меню Пример

Пример Решите уравнение Решение. Разложим левую часть уравнения на множители: Воспользуемся равносильным переходом: Ответ:-2;0;1;2. Обратно в меню

Однородное уравнение 2-го порядка При решении уравнения надо проверить две ситуации: 1) т.е. корнями заданного уравнения являются решения этой системы. 2) Если Q(x) 0, то после деления заданного уравнения на Q 2 (x) получим уравнение которое подстановкой сводится к квадратному уравнению В ответ включают числа, полученные при рассмотрении обеих ситуаций. Обратно в меню Пример

Пример Решить уравнение (x 2 – 2х) 2 – (x 2 – 2х)(x 2 – х – 2) – 2(x 2 – х – 2) 2 = 0. Решение. Возможны две ситуации. Рассмотрим первую: Обратно в меню Найден первый корень уравнения х=2.

Продолжение решения Рассмотрим вторую ситуацию: разделим почленно заданное уравнение на (x 2 – х – 2) 2 при условии, что х -1 и х 2. Уравнение принимает вид Обозначим и решим квадратное уравнение t 2 – t –2 = 0. Получаем t 1 = -1, t 2 = 2. Обратная подстановка дает уравнения откуда х = -0,5 и х = -2. С учетом обеих ситуаций получаем ответ : - 0,5; -2; 2. Обратно в меню

Биквадратное уравнение Уравнение имеет вид aх 4 +bх 2 +c=0. Сделаем подстановку x 2 = t. Значит, x 4 = t 2. Получаем квадратное уравнение at 2 +bt+c=0. Находим значения t и, сделав обратную подстановку, находим корни исходного уравнения. Замечание. При решении биквадратного уравнения можно получить от 1 до 4-х корней или же это уравнение может совсем не иметь корней. Обратно в меню Пример

Пример Решите уравнение х 4 –3х 2 –4=0. Решение. Решение. Сделаем подстановку x 2 = t. Получаем квадратное уравнение t 2 –3t–4=0, корни которого t = -1 и t = 4. Обратная замена дает два уравнения x 2 = -1 и x 2 = 4, из которых первое уравнение не имеет корней, а корни второго уравнения -2 и 2. Ответ: -2; 2. Обратно в меню

Симметричное уравнение 3-го порядка Уравнение имеет вид ах 3 +bх 2 +bх+а=0. Сгруппируем слагаемые: а(х 3 +1)+bх(х+1)=0. Применим формулу суммы кубов а(х+1)(х 2 –х+1)+bх(х+1)=0 и выполним разложение на множители (х+1)(ах 2 +(b - а)х+а)=0. Получили распадающееся уравнение. Значит, х+1=0 или ах 2 +(b - а)х+а=0. Решив эти два уравнения, найдем корни исходного уравнения. Обратно в меню Пример

Пример Решите уравнение 2х 3 –3х 2 – 3х +2=0. Решение. Сгруппируем слагаемые парами и в каждой паре вынесем общий множитель за скобки: 2(х 3 +1)–3х(х+1)=0. Применим формулу суммы кубов и вынесем общий множитель (х+1): 2(х+1)(х 2 –х+1)– 3х(х+1)=0, (х+1)(2х 2 –5х+2)=0. Значит, х+1=0 или 2х 2 –5х+2=0. Решив эти два уравнения, найдем корни исходного уравнения: -1; 0,5; 2. Ответ: -1; 0,5; 2. Обратно в меню

Симметричное уравнение 4-го порядка Уравнение имеет вид ах 4 +bх 3 +сх 2 +bх+а=0. Сгруппируем слагаемые и разделим обе части уравнения на х2. Получаем Сделаем подстановку, тогда Получаем квадратное уравнение a(t2-2)+bt+c=0. Находим значения t и делаем обратную подстановку. Обратно в меню Пример

Пример Решите уравнение Решение. Разделим обе части уравнения на x2 0 и, удобно группируя, получим равносильное уравнение: Сделаем подстановку, тогда Получаем квадратное уравнение, корни которого 2 и -3,5. Обратная подстановка дает два рациональных уравнения и откуда и находим корни исходного уравнения. Ответ: 1; Обратно в меню

Возвратное уравнение Уравнение вида Уравнение вида ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0, ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0, где a 0, b 0 и, где a 0, b 0 и, называется возвратным уравнением четвертого порядка. называется возвратным уравнением четвертого порядка. Это уравнение сводится к квадратному с Это уравнение сводится к квадратному с помощью подстановки помощью подстановки Обратно в меню Пример

Пример Решить уравнение x4 + x3 - 6x2 - 2x + 4 = 0. Решение. Заметим, что и, следовательно, данное уравнение есть возвратное уравнение четвертого порядка. Так как x = 0 не является решением уравнения, разделим на x2 и получим равносильное уравнение Обозначим, тогда и уравнение примет вид t t t t2 + t - 2 = 0, корни которого t1 = -2 и t2 = 1. Делаем обратную замену и после умножения на x 0 получаем два квадратных уравнения x2 + 2x - 2 = 0, x2 - x - 2 = 0, откуда и получим корни исходного уравнения. Ответ: Обратно в меню

Уравнения вида (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m Если a + b = c + d, то это уравнение сводится к квадратному уравнению. Действительно, Если a + b = c + d, то это уравнение сводится к квадратному уравнению. Действительно, (x + a)(x + b) = x 2 + (a + b)x + ab (x + a)(x + b) = x 2 + (a + b)x + ab (x + c)(x + d) = x 2 + (c + d)x + cd = (x + c)(x + d) = x 2 + (c + d)x + cd = = x 2 + (a + b)x + cd = x 2 + (a + b)x + cd Обозначив x 2 + (a + b)x = t, получим квадратное Обозначив x 2 + (a + b)x = t, получим квадратное уравнение уравнение (t + ab)(t + cd) = m (t + ab)(t + cd) = m Из этого уравнения найдем значения t и, Из этого уравнения найдем значения t и, сделав обратную подстановку, закончим сделав обратную подстановку, закончим решение исходного уравнения. решение исходного уравнения. Обратно в меню Пример

Пример Решить уравнение (x - 2)(x + 1)(x + 4)(x + 7) = 19. Решение. Заметим, что = Удобно группируя, получим [(x - 2)(x + 7)]·[(x + 1)(x + 4)] = 19 или (x2 + 5x – 14 )(x2 + 5x + 4) = 19. Обозначим t = x2 + 5x - 14, тогда x2 + 5x + 4 = t Уравнение примет вид t(t + 18) = 19 или t2 + 18t - 19 = 0, откуда t = -19 и t = 1. Сделав обратную подстановку, получим x2 + 5x - 14 = -19 и x2 + 5x - 14 = 1. Окончательный ответ: Обратно в меню

Уравнение вида (x + a)4 + (x + b)4 = c Используя подстановку, уравнение можно свести к биквадратному уравнению относительно t. Действительно, подставив в уравнение, получим Обозначим и возведем каждое слагаемое в 4-ю степень. После приведения подобных получим биквадратное уравнение Обратно в меню Пример

Пример Решить уравнение (x + 3)4 + (x - 1)4 = 82. Решение. Сделаем подстановку П Получим следующее уравнение относительно t: (t + 2)4 + (t - 2)4 = 82 или t4 + 8t3 + 24t2 + 32t t4 - 8t3 + 24t2 - 32t = 0. Откуда получим биквадратное уравнение t4 + 24t = 0, корни которого t = ± 1. Следовательно, x + 1 = ± 1. Значит, корни исходного уравнения x = -2 и x = 0. Ответ: -2;0. Обратно в меню

Уравнение вида Решить уравнение Р(х) = 0. Для каждого корня уравнения Р(х) = 0 сделать проверку: удовлетворяет ли он условию Q(х) 0 или нет. Если да, то это корень заданного уравнения, а если нет, то этот корень является посторонний для заданного уравнения и в ответ его включать не следует. Обратно в меню Пример

Пример Решите уравнение Решите уравнение Решение. Решение. Приравняем числитель дроби к нулю и решим полученное уравнение: Значение х = 2 не удовлетворяет условию Следовательно, уравнение имеет один корень х= 4. Ответ: 4. Ответ: 4. Обратно в меню

Уравнение вида Подстановкой это уравнение сводится к виду Умножим на и решим полученное квадратное уравнение относительно t. Остается сделать обратную подстановку где t о - корень квадратного уравнения, и решить полученное уравнение относительно х. Обратно в меню Пример

Уравнение вида Подстановкой это уравнение сводится к виду Умножим на и решим полученное квадратное уравнение относительно t. Остается сделать обратную подстановку где t о - корень квадратного уравнения, и решить полученное уравнение относительно х. Обратно в меню Пример

Пример Решите уравнение Решите уравнение Решение. Решение. Сделаем подстановку и решим полученное уравнение относительно t : Обратная подстановка приводит к уравнению корень которого х = -1. Ответ: -1. Ответ: -1. Обратно в меню

Уравнения, состоящие из суммы двух и более дробей 1-й способ Перенести все члены уравнения в одну часть. Привести уравнение к виду и найти корни полученного уравнения. 2-й способ Определить О.Д.З. уравнения. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель дробей и получить целое уравнение. Найти корни полученного уравнения и проверить их соответствие О.Д.З. Обратно в меню Пример

Пример Решите уравнение Решите уравнение Решение. Решение. Найдём О.Д.З. Знаменатели дробей не могут обращаться в нуль. Значит, О.Д.З. уравнения: х 2 и х 0. Перенесём члены из правой части уравнения в левую и приведём к общему знаменателю.. Приравняем числитель дроби к нулю: х 2 – 6х + 8 = 0. Находим корни квадратного уравнения: х = 4 и х = 2. Значение х = 2 не удовлетворяет О.Д.З. Следовательно, уравнение имеет один корень х= 4. Ответ: 4. Ответ: 4. Обратно в меню

Уравнения вида Данное уравнение сводится к квадратному уравнению заменой переменной Данное уравнение сводится к квадратному уравнению заменой переменной Обратно в меню Пример

Пример Решить уравнение Решение. О.Д.З. уравнения есть множество Поскольку x = 0 не является решением данного уравнения, перепишем уравнение в виде (разделим числитель и знаменатель каждой дроби на x). Обозначим и уравнение примет вид Обратно в меню

Продолжение решения О.Д.З. полученного уравнения t 5 и t -1. Решая это уравнение, приходим к квадратному уравнению 2t t + 11 = 0, корни которого t 1 = 1 и t 2 = 11/2 удовлетворяют О.Д.З.. Делаем обратную подстановку и получаем два рациональных уравнения решив которые находим корни заданного уравнения. Ответ: Обратно в меню

Литература Алгебра и математический анализ, 10 Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд Алгебра и математический анализ, 10 Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд Алгебра и начала анализа. 8 – 11 кл. Пособие для школ и классов с углубл. изучением математики (серия «Дидактические материалы») Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина М.В. Алгебра и начала анализа. 8 – 11 кл. Пособие для школ и классов с углубл. изучением математики (серия «Дидактические материалы») Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина М.В.