Решение заданий В 8 ЕГЭ по математике

Производная ФункцияПроизводная y=Cy´=0 y=xy´=1 y=kxy´=k y=kx+my´=k y=x ͫ y´=mx ͫ ¯¹ y=k x ͫ y´=kmx ͫ ¯¹ y=y´=- y=y´= y=sin xy´=cos x y=cos xy´= - si1n x y=tg xy´= y=ctg xy´=

Найти производную функции: А) y=2,5И) y=2x + cosx Б) y=-3,2x + 3К) y=3x² + 4x В) y=7,5xЛ) y=sin x Г) y=-10xМ) y=2cos x Д) y=x²Н) y=3sin x Е) y=2x О) y= 2/x Ж) y=2,4x П) y=4sin2x З) y=-x²Р) y= tgx +1

Задача Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x расстояние от точки отсчета в метрах, t время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времениt = 3 с. Решение. Найдем закон изменения скорости: Тогда находим: м/с. Ответ: 3.

Задача Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x расстояние от точки отсчета в метрах, t время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 3 с. Ответ: 8

Задача Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x расстояние от точки отсчета в метрах, t время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 3 с. Ответ: 8

Задача Прямая параллельна касательной к графику функции. Найдите абсциссу точки касания. Решение. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой их угловые коэффициенты равны. Поэтому абсцисса точки касания находится из уравнения : Ответ: 0,5.

Задача Прямая является касательной к графику функции Найдите абсциссу точки касания.

Задача Прямая является касательной к графику функции Найдите абсциссу точки касания. Ответ: -1

Задача На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0. Решение. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (2; 4), B (2; 2), C (6; 2). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу ACB. Поэтому Ответ: 0,25.

Задача На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0.

Задача На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0.

Решение. Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с плюса на минус. На отрезке [9;6] функция имеет две точки максимума x = 4 и x = 4. Ответ: 2. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (10; 8). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [9;6].

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [6; 9].

Решение. Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с положительного на отрицательный. На отрезке [6; 9] функция имеет одну точку максимума x = 7. Ответ: 1.

Решение. На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (1; 12). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна. Производная функции отрицательна на тех интервалах, на которых функция убывает, т. е. на интервалах (0,5; 3), (6; 10) и (11; 12). В них содержатся целые точки 1, 2, 7, 8 и 9. Всего 5 точек. Ответ: 5.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (10; 4). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них. Решение. Промежутки убывания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции отрицательна, то есть интервалу (9; 6) длиной 3 и интервалу (2; 3) длиной 5. Длина наибольшего из них равна 5. Ответ: 5.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (8; 6). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них. Решение. Промежутки возрастания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции положительна, то есть интервалам (7; 5), (2; 5). Наибольший из них интервал (2; 5), длина которого 3.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (7; 10). Найдите количество точек минимума функции f(x) на отрезке [3; 8]. Решение. Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с минуса на плюс. На отрезке [3; 8] функция имеет одну точку минимума x = 4. Ответ: 1.

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (16; 4). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [14; 2]. Решение. Точки экстремума соответствуют точкам смены знака производной изображенным на графике нулям производной. Производная обращается в нуль в точках 13, 11, 9, 7. На отрезке [14; 2] функция имеет 4 точки экстремума. Ответ: 4.

На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x). Решение. Заданная функция имеет максимумы в точках 1, 4, 9, 11 и минимумы в точках 2, 7, 10. Поэтому сумма точек экстремума равна = 44. Ответ: 44.

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0. Решение. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (2; 2), B (2; 0), C (6; 0). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB

На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к этому графику в точке абсциссой, равной 3. Найдите значение производной этой функции в точке x = 3. Для решения используем геометрический смысл производной: значение производной функции в точке равняется угловому коэффициенту касательной к графику этой функции, проведенной в этой точке. Угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси х (tg α). Угол α = β, как накрест лежащие углы при параллельных прямых y=0, y=1 и секущей-касательной. Для треугольника ABC

Источники