СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ

Домашнее задание: § 2, теория в конспекте 2.13.

x у 0 x у 0 x у 0

Является ли графическим заданием какой-либо функции фигура, изображенная на рисунке?

Используя графики функций на рисунках 1 - 9, укажите области определения этих функций 1) (- ; + )2) (- ; - 1]3) (- ; 0]4) (- ; 0) (0; + ) 5) [-2; 4] 6) [0; + ) 8) [-2; + ) 7) [-4; 4] 9) (- ; 3) 1) (- ; + ) 4) (- ; 0) (0; + ) 6) [0; + ) 3) (- ; 0] 7) [-4; 4] проверка

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функцию у = f(x) называют возрастающей (убывающей) на множестве X Є D(f), если для любых двух элементов x 1 и х 2 множества Х, таких, что x 1 < x 2, выполняется неравенство f(x 1 ) f(x 2 )).

Функция возрастает (убывает), если большему значению аргумента соответствует большее(меньшее) значение функции.

Термины «возрастающая» и «убывающая» функции объединяют общим названием монотонная функция. Исследование функции на возрастание или убывание называют исследованием функции на монотонность.

По графику функции определите промежутки монотонности функций Функция возрастает Ответ: Функция убывает Ответ: Функция возрастаетФункция убывает [- 3; - 2] [2; 3] [3; 5] [- 5; - 3] [- 3; 2] [3; 4] проверка

ПРИМЕР 1. Исследовать на монотонность функцию а) у = – 3х + 7; б) у = х³ + 7.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция называется ограниченной снизу на множестве X Є D(f) (ограниченной сверху на множестве X Є D(f)), если существует такое число m, что для любого значения х Є D(f) выполняется неравенство f(x) > m (f(x) < m).

Используя графики функций на рисунках 1 – 9 определите, какие из функций: 1) Ограничены сверху 2) Ограничены снизу 3) Ограничены 4) Не ограничены Ответ: 2) снизу ограничена сверхуне ограничена снизуне ограничена сверху ограничена снизу проверка

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Число m называется наименьшим (наибольшим) значением функции у = f(x) на множестве X Є D(f), если: 1.Существует число x 0 Є D(f) такое, что f(x 0 ) = M; 2.Для любого значения х Є Х выполняется неравенство f(x) f(x 0 ) (f(x) f(x 0 )).

По рисункам 1 – 12 укажите наибольшие и наименьшие значения функций У наим = - 2 У наим = 0 У наиб = 3 Нет У наиб и У наим проверка

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция f называется чётной (нечётной), если для любого х из ее области определения f(-x) = f(x) (f(-x)= - f(x)).

1.График четной функции симметричен относительно оси ординат. 2. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Укажите графики функций I – четных. II – нечетных.

ПРИМЕР 2. Исследовать на чётность функцию а) у = 3х² + 7; б) у = х³; в) у = х³ + 7.

СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ 1. Область определения функции D(f). 2. Промежутки возрастания и убывания (монотонность) функции. 3. Ограниченность функции. 4. Наибольшее и наименьшее значения функции. 5. Непрерывность функции. 6. Область значений функции Е(f). 7. Четность функции. 8. Выпуклость функции.