ОБЪЕМ ФИГУР В ПРОСТРАНСТВЕ Объем – величина, аналогичная площади и сопоставляющая фигурам в пространстве неотрицательные действительные числа. За единицу объема принимается куб, ребро которого равно единице измерения длины. Для объемов пространственных фигур справедливы свойства, аналогичные свойствам площадей плоских фигур, а именно: 1. Объем фигуры в пространстве является неотрицательным числом. 2. Равные фигуры имеют равные объемы. 3. Если фигура Ф составлена из двух неперекрывающихся фигур Ф 1 и Ф 2, то объем фигуры Ф равен сумме объемов фигур Ф 1 и Ф 2, т.е. V(Ф)=V(Ф 1 )+V(Ф 2 ). Две фигуры, имеющие равные объемы, называются равновеликими.

Обобщенный цилиндр Пусть α и π - две параллельные плоскости, l - пересекающая эти плоскости прямая; F – фигура на одной из этих плоскостей, F – ее параллельная проекция на другую плоскость в направлении прямой l. Отрезки, соединяющие точки фигуры F с их проекциями, образуют фигуру в пространстве, которую мы будем называть обобщенным цилиндром. Фигуры F и F называются основаниями обобщенного цилиндра. Расстояние между плоскостями оснований называют высотой обобщенного цилиндра. В случае, если в определении обобщенного цилиндра вместо параллельной проекции берется ортогональная, т. е. прямая l перпендикулярна плоскостям α и π, то обобщенный цилиндр называется прямым. В противном случае цилиндр называется наклонным. Частным случаем обобщенного цилиндра являются цилиндр и призма.

Объем обобщенного цилиндра Теорема. Объем прямого обобщенного цилиндра равен произведению площади его основания на высоту. Следствие 1. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений, т. е. имеет место формула Следствие 2. Объем прямой призмы равен произведению площади ее основания на высоту, т. е. имеет место формула где a, b, c – ребра параллелепипеда. где S – площадь основания, h – высота призмы. Следствие 3. Объем прямого кругового цилиндра, высота которого равна h и радиус основания R, вычисляется по формуле

ОБЪЕМ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений, т.е. имеет место формула где a, b, c – ребра параллелепипеда, выходящие из одной вершины.

Упражнение 1 Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2, 3. Найдите объем параллелепипеда. Ответ: 6.

Упражнение 2 Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Объем параллелепипеда равен 3. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины. Ответ:

Упражнение 3 Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 2. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 3. Найдите объем параллелепипеда. Ответ: 6.

Упражнение 4 Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Диагональ параллелепипеда равна 3. Найдите объем параллелепипеда. Ответ: 4.

Упражнение 5 Диагональ куба равна 1. Найдите его объем. Ответ:

Упражнение 6 Площадь поверхности куба равна 1. Найдите его объем. Ответ:

Упражнение 7 Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 10. Найдите объем параллелепипеда. Ответ: 2. Решение. Пусть третье ребро параллелепипеда равно x. Тогда площадь поверхности будет равна 4 + 6x. Следовательно, x = 1. Объем параллелепипеда будет равен 2.

Упражнение 8 Ребро прямоугольного параллелепипеда равно 1. Диагональ равна 3. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите объем параллелепипеда. Ответ: 4. Решение. Пусть второе ребро параллелепипеда равно x. Тогда третье ребро будет равно Площадь поверхности будет равна Приравнивая это выражение к 16, получим x = 2. Третье ребро будет равно 2 и, следовательно, искомый объем равен 4.

Упражнение 9 Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 1 и образует углы 30 о, 30 о и 45 о с плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда. Ответ: Решение. Ребра параллелепипеда равны Следовательно, объем равен

Упражнение 10 Площади трех граней параллелепипеда равны 1, 2, 3. Найдите объем параллелепипеда. Ответ: Решение. Пусть ребра параллелепипеда равны x, y, z. Тогда xy = 1, xz = 2, yz = 3. Решая эти уравнения, находим Объем параллелепипеда равен

Упражнение 11 Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 60 о. Одно из ребер параллелепипеда перпендикулярно этой грани и равно 1. Найдите объем параллелепипеда. Ответ:

Упражнение 12 Как относятся объемы двух кубов: данного и его модели, уменьшенной в масштабе: а) 1 : 2; б) 1 : 3; в) 1 : n? Ответ: а) 1 : 8;б) 1 : 27;в) 1 : n 3.

Упражнение 13 Как изменится объем прямого параллелепипеда, если: а) одно из его измерений увеличить в 2 раза, в 3 раза, в n раз; б) если два его измерения увеличить, причем каждое из них в 2, 3, n раз; в) если все три его измерения увеличить в 2, 3, n раз? Ответ: а) Увеличится в 2 раза, в 3 раза, в n раз; б) увеличится в 4 раза, в 9 раза, в n 2 раз; в) увеличится в 8 раз, в 27 раз, в n 3 раз.

Упражнение 14 Если каждое ребро куба увеличить на 2 см, то его объем увеличится на 98 см 3. Определите ребро куба. Ответ: 3 см.

Упражнение 15 Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите объем параллелепипеда. Решение: Ребра параллелепипеда равны 2, 2 и 1. Его объем равен 4.

Упражнение 16 Параллелепипед описан около единичной сферы. Найдите его объем. Решение: Ребра параллелепипеда равны 2. Его объем равен 8.

Упражнение 17 Найдите объем куба, вписанного в единичный октаэдр. Решение: Ребро куба равно Объем куба равен

Упражнение 18 Найдите объем куба, описанного около единичного октаэдра. Решение: Ребро куба равно Объем куба равен

Упражнение 19 Чему равен объем пространственного креста, если ребра образующих его кубов равны единице? Ответ: 7.

Упражнение 20 Чему равен объем фигуры, изображенной на рисунке? Ответ: 3.

Упражнение 21 Дан куб с ребром 3 см. В каждой грани проделано сквозное квадратное отверстие со стороной 1 см. Найдите объем оставшейся части. Ответ: 20 см 3.

Упражнение 22 Найдите объем куба, вписанного в единичный додекаэдр. Решение: Ребро куба равно Объем куба равен

ОБЪЕМ ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ Объем прямой призмы равен произведению площади ее основания на высоту, т. е. имеет место формула где S – площадь основания, h – высота призмы.

Упражнение 1 Найдите объем правильной четырехугольной призмы, сторона основания которой равна 5 см, а боковое ребро 8 см. Ответ: 200 см 3.

Упражнение 2 Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания 20 см, а объем 4800 см 2. Ответ: 12 см.

Упражнение 3 Основание прямой призмы – ромб, площадь которого равна 1 м 2. Площади диагональных сечений равны 3 м 2 и 6 м 2. Найдите объем призмы. Ответ: 3 м 3.

Упражнение 4 Основание прямой призмы – параллелограмм, стороны которого равны 8 см и 5 см образуют угол в 60°. Меньшая диагональ призмы составляет с плоскостью основания угол в 30°. Определите объем этой призмы. Ответ: 140 см 3.

Упражнение 5 Найдите объем правильной треугольной призмы, все ребра которой равны 1. Ответ:

Упражнение 6 Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см, боковое ребро равно 10 см. Найдите объем призмы. Ответ: 60 см 3.

Упражнение 7 Найдите объем правильной треугольной призмы, вписанной цилиндр, радиус основания и высота которого равны 1. Ответ: Решение. Сторона основания призмы равна Площадь основания равна Высота призмы равна 1. Следовательно, объем призмы равен

Упражнение 8 Найдите объем правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Ответ: Решение. Сторона основания призмы равна Площадь основания равна Высота призмы равна 1. Следовательно, объем призмы равен

Упражнение 9 Найдите объем правильной треугольной призмы, описанной около единичной сферы. Ответ: Решение. Сторона основания призмы равна Площадь основания равна Высота призмы равна 2. Следовательно, объем призмы равен

Упражнение 10 Найдите объем правильной шестиугольной призмы, все ребра которой равны 1. Ответ:

Упражнение 11 От единичного куба A…D 1 отсечены четыре треугольные призмы плоскостями, которые проходят через середины смежных сторон грани ABCD, параллельно ребру AA 1. Найдите объем оставшейся части. Ответ:

Упражнение 12 Объем правильной шестиугольной призмы равен V. Определите объем призмы, вершинами оснований которой являются середины сторон оснований данной призмы. Ответ:

Упражнение 13 Найдите объем правильной шестиугольной призмы, вписанной цилиндр, радиус основания и высота которого равны 1. Ответ: Решение. Сторона основания призмы равна 1. Площадь основания равна Высота призмы равна 1. Следовательно, объем призмы равен

Упражнение 14 Найдите объем правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Ответ: Решение. Сторона основания призмы равна Площадь основания равна Высота призмы равна 1. Следовательно, объем призмы равен

Упражнение 15 Найдите объем правильной шестиугольной призмы, описанной около единичной сферы. Ответ: Решение. Сторона основания призмы равна Площадь основания равна Высота призмы равна 2. Следовательно, объем призмы равен

Упражнение 16 В правильной шестиугольной призме сторона основания равна 1, боковое ребро – 2. Через сторону основания проведено сечение плоскостью под углом 30 о к этому основанию. Найдите объем части призмы, отсекаемой этой плоскостью. Ответ: Решение. Искомый объем равен половине объема правильной шестиугольной призмы, сторона основания и высота которой равны 1. Следовательно, объем части призмы равен

ОБЪЕМ ПРЯМОГО ЦИЛИНДРА Объем прямого призмы равен произведению площади его основания на высоту, т. е. имеет место формула где R – радиус основания, h – высота цилиндра.

Упражнение 1 Диагональ осевого сечения цилиндра равна d и наклонена к плоскости основания под углом φ. Найдите объем цилиндра. Ответ:

Упражнение 2 Одна кружка вдвое выше другой, зато другая в полтора раза шире. Какая кружка вместительнее? Ответ: Та, которая шире.

Упражнение 3 В цилиндрический сосуд, диаметр которого равен 9 см, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 12 см. Чему равен объем детали? Ответ: 243 см 3.

Упражнение 4 Развертка боковой поверхности цилиндра – прямоугольник со сторонами 1 и 2. Найдите объем цилиндра. Ответ: или, в зависимости от выбора основания цилиндра.

Упражнение 5 В основании прямой призмы правильный треугольник со стороной 1. Боковые ребра призмы равны 2. Найдите объем цилиндра. Ответ:

Упражнение 6 В основании прямой призмы прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые ребра призмы равны 1. Найдите объем цилиндра. Ответ: 4.

Упражнение 7 Найдите объем цилиндра, вписанного в единичный куб. Ответ:

Упражнение 8 В правильную шестиугольную призму, со стороной основания 1 и боковым ребром 2, вписан цилиндр. Найдите объем этого цилиндра. Ответ:

Упражнение 9 В основании прямой призмы правильный треугольник со стороной 1. Боковые ребра равны 3. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы. Ответ:

Упражнение 10 В основании прямой призмы прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые ребра равны 5. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы. Ответ:

Упражнение 11 В основании прямой призмы квадрат со стороной 1. Боковые ребра равны 2. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы. Ответ:

Упражнение 12 Во сколько раз объем цилиндра, описанного около правильной четырехугольной призмы, больше объема цилиндра, вписанного в эту же призму? Ответ: В 2 раза.

Упражнение 13 Около правильной шестиугольной призмы, со стороной основания 1, описан цилиндр. Боковые ребра призмы равны 2. Найдите объем этого цилиндра. Ответ:

Упражнение 14 Найдите объём цилиндра, зная, что скрещивающиеся рёбра правильного единичного тетраэдра являются диаметрами оснований цилиндра. Решение: Площадь основания цилиндра равна, а образующая равна расстоянию между скрещивающимися рёбрами правильного единичного тетраэдра, оно равно. Искомый объём равен. Ответ:.

Упражнение 15 Через точку окружности основания прямого кругового цилиндра проведена плоскость под углом φ к этому основанию. Радиус основания цилиндра равен R. Найдите объем части цилиндра, отсекаемой плоскостью. Ответ: R 3 tg.

Упражнение 16* Какой наибольший объем может иметь цилиндр, вписанный в единичную сферу? Ответ: Решение: Обозначим x половину высоты цилиндра. Тогда радиус основания цилиндра будет равен Объем цилиндра равен Для нахождения наибольшего значения функции на отрезке [0, 1] воспользуемся производной. Производная обращается в ноль в точке в которой функция принимает наибольшее значение, равное

Упражнение 17* Какой наибольший объем может иметь цилиндр, площадь осевого сечения которого равна 1? Ответ: Наибольшего объема нет. Решение: Обозначим x диаметр основания цилиндра. Тогда его высота равна Объем цилиндра равен Функция неограниченно возрастает и, следовательно, цилиндра наибольшего объема не существует.