Система счисления – совокупность символов( цифр) и правил их использования для представления чисел.

Люди научились считать очень давно, ещё в каменном веке. Сначала люди просто различали, один предмет перед ними или больше.. Через некоторое время появилось слово, которое обозначало два предмета. А у некоторых племён Полинезии и Австралии до самого последнего времени было только два числительных: «один, два».А все остальные числа получали название в виде сочетания этих двух числительных. Например, число четыре: два, два», три: один, два», шесть: два, два, два».. И конечно же как люди научились считать, у них появилась потребность в записи этих чисел. Находки археологов на стоянках первобытных людей доказывает, что первоначально количество предметов отображалось равным количеством каких- либо значков: чёрточек, зарубков, точек. Такая система записи чисел называется ЕДИНИЧНОЙ (УНАРНОЙ)т.к. Любое число в ней образуется путём повторения одного и того же знака, символизирующего единицу.

Пальцы- первое вычислительное устройство т. к.На пальцах можно показать количество предметов или лет. Так отголоски единичной системы счисления встречаются и сегодня. Например, чтобы узнать на каком курсе учится курсант военного училища, нужно сосчитать количество полосок нашитых на его рукаве. Так же этой системой пользуются малыши, показывая на пальцах свой возраст. Единичная система - не самый удобный способ записи чисел. Записывать таким образом большие количества утомительно, да и сами записи при этом получаются очень длинными. С течением времени Возникли иные, более экономичные системы счисления.

Примерно в третьем тысячалетии до нашей эры в Египте появилась одна из древнейших нумераций, дошедших до нас в древних папирусах и рисунках- ЕГИПЕТСКАЯ. Для записи чисел египтяне использовали специальные значки- ИЕРОГЛИФЫ. Иероглифы использовали как для письменности, так и для обозначения ключевых Сначала значки имели сложный Вид, а с тече- нием времени обрели более простой..

Все остальные числа составляли с помощью добавления тех или иных иероглифов, а общее количество определялось суммой значения всех значков. У египтян практиковалось прибавление чисел друг к другу, то есть СЛОЖЕНИЕ( путём добавления к существующему иероглифу числа иероглифа второго слагаемого). При этом величина числа не зависела от того, в каком порядке расположены составляющие его знаки на папирусе то есть НЕПОЗИЦИОННАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ. (Как писали, так и читали, подряд). Знаки можно было писать: Сверху Вниз, Справа Налево или Вперемешку. Если число уменьшалось, то при быстром ведении подсчётов, соответствующий ему знак вычёркивался или стирался. Например, X L D M расшифровывается так: Две тысячи, Две сотни, пять десятков и три единицы.

.. Особую роль у египтян играло число 2 и его степени. Умножение и деление они проводили путём последовательного удваивания и сложения чисел. Выглядели такие расчёты довольно громоздко. Например, чтобы умножить 15 на 24 составляли следующую таблицу: Здесь в левом столбце записаны результаты удвоений единицы, в правом- числа 24. Записи не кончались до тех пор, пока из чисел левого столбца не возможно было б составить множитель (1*2) 48 4(2*2) 96 8(4*2) (8*2) =15.После этого складывались числа из правого столбца =360

При делении египтяне многократно удваивали в правом столбце делитель и, соответственно, в левом столбце – 1, пока числа правого столбца оставались не больше делимого. Далее из чисел правого столбца пытались составить делимое, и если это удавалось, то сумма соответствующих чисел в левом столбце давала искомое частное. Если же делимое не делилось нацело на делитель, то получали частное и остаток. Например, чтобы разделить 541 на 12 надо было составить таблицу:

Идея приписывать цифрам разные величины в зависимости от того, какую позицию они занимают в записи числа, впервые появилась В ДРЕВНЕМ ВАВИЛОНЕ примерно в третьем тысячалетии до нашей эры. До нашего времени дошли многие глиняные таблички ДРЕВНЕГО ВАВИЛОНА, на которых решены сложнейшие задачи, такие как вычисление корней, отыскание объёма пирамиды и др. Для записи чисел вавилоняне использовали всего два знака: клин вертикальный ( единицы ) и клин горизонтальный ( десятки ). Все числа от 1 до 59 записывались с помощью этих знаков, как в обычной иероглифической системе. Пример:

Алфавитной нумирацией пользовались также южные и восточные славянские народы. У одних славянских народов числовые значения букв установились в порядке славянского алфавита, у других же (в том числе и у русских) роль цифр играли не все буквы славянского алфавита, а только те из них, которые имелись, и в греческом алфавите. Над буквой, обозначавшей цифру, ставился специальный значок «ТИТЛО». При этом числовые значения букв возрастали в том же порядке, в каком следовали буквы в греческом алфавите. (Порядок букв славянского алфавита был несколько иным)Алфавитной нумирацией пользовались также южные и восточные славянские народы. У одних славянских народов числовые значения букв установились в порядке славянского алфавита, у других же (в том числе и у русских) роль цифр играли не все буквы славянского алфавита, а только те из них, которые имелись, и в греческом алфавите. Над буквой, обозначавшей цифру, ставился специальный значок «ТИТЛО». При этом числовые значения букв возрастали в том же порядке, в каком следовали буквы в греческом алфавите. (Порядок букв славянского алфавита был несколько иным) В России Славянская нумирация сохранялась до конца Семнадцатого века. При Петре Первом возобладала так называемая АРАБСКАЯ НУМИРАЦИЯ сохранилась только в богослужебных книгах.В России Славянская нумирация сохранялась до конца Семнадцатого века. При Петре Первом возобладала так называемая АРАБСКАЯ НУМИРАЦИЯ сохранилась только в богослужебных книгах.

В качестве цифр используются некоторые буквы. I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000). Значение цифры не зависит от ее положения в числе. например, в числе XXX цифра X встречается трижды, и в каждом случае обозначает одну и ту же величину 10, а в сумме XXX- 30. Величина числа в римской системе счисления определяется как сумма или разность чисел. Если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается, если справа- прибавляется. Например: 1998=MCMXCVIII=1000+( )+( )

..

У иероглифических и алфавитных систем счисления есть один существенный недостаток - в них было очень трудно выполнять арифметические операции.. В позиционной системе счисления количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе. Позиция цифры называется разрядом. Разряд числа возрастает справа налево. Наиболее распространенной в настоящее время являются десятичная, двоичная,восьмеричная и шестнадцатеричная позиционные системы счисления. В позиционной системе счисления основание системы равно количеству цифр, используемых ею и определяет, во сколько раз различаются значения цифр соседних разрядов чисел. Основные достоинства любой позиционной системы счисления – простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов, необходымых для записи любых чисел.

Французский математик Пьер Симон Лаплас ( ).Такими словами оценил « ОТКРЫТИЕ» позиционной системы счисления:»Мысль – выражать все числа немногими знаками, придавая им значение по форме, ещё значение по месту, на столько проста, что именно из-за этой простоты трудно оценить, насколько она удивительная…»

Система гадания китайской Книги перемен» « («И- Цзин»), уходящая корнями в глубочайшую древность, при внимательном анализе обнаруживает в своей основе двоичную систему счисления и позиционный принцип записи чисел !!!

На ее широкое использование в прошлом явно указывают названия числительных во многих языках, а также сохранившиеся в ряде стран способы отсчета времени, денег и соотношения между некоторыми единицами измерения. Год состоит из 12 месяцев, а половина суток состоит из 12 часов. В русском языке счет часто идет дюжинами, чуть реже гроссами (по 144=12 2 ), но в старину использовалось и слово для 1728=12 3. В английском языке есть особые (а не образованные по общему правилу) слова eleven (11) и twelve (12). Английский фунт состоит из 12 шиллингов.

В 595 году (уже нашей эры) - в Индии впервые появилась знакомая всем нам сегодня десятичная система счисления. (Спасибо индийцам, а то что бы мы сегодня без нее делали?) Знаменитый персидский математик Аль-Хорезми выпустил учебник, в котором изложил основы десятичной системы индусов. После перевода его на латынь и выпуска книги Леонардо Пизано (Фибоначчи) эта система стала доступна европейцам.

В настоящий момент – наиболее употребительная в информатике, вычислительной технике и смежных отраслях система счисления. Использует две цифры – 0 и 1, а также символы «+» и «–» для обозначения знака числа и запятую (точку) для разделения целой и дробной части.

C D A1110E B1111F

А (S) =a n S n + a n-1 S n-1 +…+ a 1 S 1 + a 0 S 0 + a -1 S -1 +…+ a -m S m