Решение заданий В8 по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2012 года

Прямая у = 4х + 11 параллельна касательной к графику функции у = х 2 + 8х + 6. Найдите абсциссу точки касания. Решение: Если прямая параллельна касательной к графику функции в какой-то точке (назовем ее х о ), то ее угловой коэффициент (в нашем случае k = 4 из уравнения у = 4х +11) равен значению производной функции в точке х о : k = f (x o ) = 4 Производная функции f (x) = (х 2 + 8х + 6) = 2x + 8. Значит, для нахождения искомой точки касания необходимо, чтобы 2х o + 8 = 4, откуда х о = – 2. Ответ: –

Прямая у = 3х + 11 является касательной к графику функции у = x 3 3x 2 6x + 6. Найдите абсциссу точки касания. Решение: Заметим, что если прямая является касательной к графику, то ее угловой коэффициент (k = 3) должен быть равен производной функции в точке касания, откуда имеем Зх 2 6х 6 = 3, то есть Зх 2 6х 9 = 0 или х 2 2х 3 = 0. Это квадратное уравнение имеет два корня: 1 и 3. Таким образом есть две точки, в которых касательная к графику функции у = х 3 Зх 2 6х + 6 имеет угловой коэффициент, равный 3. Для того чтобы определить, в какой из этих двух точек прямая у = 3х + 11 касается графика функции, вычислим значения функции в этих точках и проверим, удовлетворяют ли они уравнению касательной. Значение функции в точке 1 равно у( 1) = = 8, а значение в точке 3 равно у(3) = = 12. Заметим, что точка с координатами ( 1; 8) удовлетворяет уравнению касательной, так как 8 = А вот точка (3; 12) уравнению касательной не удовлетворяет, так как Значит, искомая абсцисса точки касания равна 1. Ответ:

На рисунке изображен график у = f (x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–10; 8). В какой точке отрезка [–8; –4] функция f(x) принимает наименьшее значение. Решение: Заметим, что на отрезке [–8; –4] производная функции отрицательна, значит, сама функция убывает, а значит, наименьшее значение на этом отрезке она принимает на правом конце отрезка, то есть в точке –4. Ответ: – – у = f (x) f(x)

На рисунке изображен график у = f (x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–8; 8). Найдите количество точек экстремума функции f(x), принадлежащих отрезку [– 6; 6]. Решение: В точке экстремума производная функции равна 0 либо не существует. Видно, что таких точек принадлежащих отрезку [–6; 6] три. При этом в каждой точке производная меняет знак либо с «+» на «–», либо с «–» на «+». Ответ: – – + у = f (x)

Решение: Заметим, что на интервале (–4; 8) производная в точке х о = 4 обращается в 0 и при переходе через эту точку меняет знак производной с «–» на «+», точка 4 и есть искомая точка экстремума функции на заданном интервале. 5 5 На рисунке изображен график у = f (x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–8; 10). Найдите точку экстремума функции f(x) на интервале (– 4; 8).. Ответ: 4. – + у = f (x)

6 6 На рисунке изображен график у = f (x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–8; 8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у = –2х + 2 или совпадает с ней. Ответ: 4. Решение: Если касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у = –2x + 2 или совпадает с ней, то ее угловой коэффициент k = –2, а значит нам нужно найти количество точек, в которых производная функции f (x) = –2. Для этого на графике производной проведем прямую у = –2, и посчитаем количество точек графика производной, лежащих на этой линии. Таких точек 4. у = f (x) у = –2

7 7 На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–6; 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна. Ответ: 6. Решение: Заметим, что производная функции отрицательна, если сама функция f(x) убывает, а значит, необходимо найти количество целых точек, входящих в промежутки убывания функции. Таких точек 6: х = 4, х = 3, х = 2, х = 1, х = 0, х = 3. –2 –1 –3 –4 0 3 у = f(x) –6 5 у х

0 у = f(x) –6 6 у х На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале ( – 6; 6). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = – 5. Ответ: 6. Решение: Прямая у = 5 горизонтальная, значит, если касательная к графику функции ей параллельна, то она тоже горизонтальна. Следовательно, угловой коэффициент в искомых точках k = f (х) = 0. В нашем случае – это точки экстремума. Таких точек 6. у = –5 –5

9 9 На рисунке изображен график у = f(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (–7; 5) и касательная к нему в точке с абсциссой х о. Найдите значение производной функции f(x) в точке х о. Ответ: 1,25. Решение: Значение производной функции f (х o ) = tg α = k равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику этой функции в данной точке. В нашем случае k > 0, так как α – острый угол (tg α > 0). Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых целые числа. Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим треугольник ABC. tg α = В С : АС = 5 : 4 = 1,25 у = f(x) 4 А В С 5 хохо α α

180° α 10 На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–10; 2) и касательная к нему в точке с абсциссой х о. Найдите значение производной функции f(x) в точке х о. Ответ: 0,75. Решение: Значение производной функции f (х o ) = tg α = k равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику этой функции в данной точке. В нашем случае k < 0, так как α – тупой угол (tg α < 0). Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых целые числа. Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим треугольник ABC. tg(180° α ) = ВС : АС = 6 : 8 = 0,75 tg α = tg (180° α ) = 0,75 8 А В С 6 хохо α у = f(x)

. На рисунке изображен график производной у = f (x) – функции f(x), определенной на интервале (–11; 11). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [ 10; 10]. у х у = f (x) 0 Решение: В точке экстремума производная функции равна 0 либо не существует. Видно, что таких точек принадлежащих отрезку [10; 10] пять. В точках х 2 и х 4 производная меняет знак с «+» на « » – это точки максимума. – + – + – + х1х1 х2х2 х3х3 х4х4 х5х5 max Ответ: 2. f(x) –

Прямая у = 4х – 4 является касательной к графику функции ах х Найдите а. Решение: Производная функции в точке касания должна совпадать с угловым коэффициентом прямой. Откуда, если за х o принять абсциссу точки касания, имеем: 2ах o + 34 = 4. То есть ах o = –15. Найдем значение исходной функции в точке касания: ах o х o + 11 = –15x o + 34х o + 11 = 19х o Так как прямая у = 4х – 4 – касательная, имеем: 19х o + 11 = 4х o – 4, откуда х o = – 1. А значит a = 15. Ответ:

Прямая у = – 4х – 5 является касательной к графику функции 9х 2 + bх Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0. Решение. Если х о – абсцисса точки касания, то 18x o + b = –4, откуда b = – 4 – 18х о. Аналогично задаче 12 найдем х о : 9x o 2 + (– 4 – 18х о ) x o + 20 = – 4х o – 5, 9x o 2 – 4x o – 18х о х o + 5 = 0, – 9x o = 0, х о 2 = 25/9. Откуда x o = 5/3 или x o = –5/3. Условию задачи соответствует только положительный корень, значит x o = 5/3, следовательно b = – 4 – 18 5/3, имеем b = –34. Ответ: –

Прямая у = 2 х – 6 является касательной к графику функции х х + с. Найдите с. Решение. Аналогично предыдущим задачам обозначим абсциссу точки касания х о и приравняем значение производной функции в точке х о угловому коэффициенту касательной. 2х о + 12 = 2, откуда x o = –5. Значение исходной функции в точке –5 равно: 25 – 60 + с = с – 35, значит с – 35 = 2 (–5) – 6, откуда с = 19. Ответ:

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 0,5t 2 – 2t – 6, где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6с. Решение. Так как мгновенная скорость точки в момент времени t o, прямолинейного движения, совершаемого по закону х = х(t), равна значению производной функции х npu t = t o, искомая скорость будет равна x (t) = 0,5 2t – 2 = t – 2, x (6) = 6 – 2 = 4 м/с. Ответ: 4. 15

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 0,5t 2 – 2t – 22, где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 4 м/с? Решение. Так как мгновенная скорость точки в момент времени t o, прямолинейного движения, совершаемого по закону х = х(t), равна значению производной функции х npu t = t o, искомая скорость будет равна x (t o ) = 0,5 2t o – 2 = t o – 2, Т.к. по условию, x (t o ) = 4, то t o – 2 = 4, откуда t o = = 6 м/с. Ответ: 6. 16

На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (–8; 6). Найдите сумму точек экстремума функции f(x). Решение: Точки экстремума – это точки минимума и максимума. Видно, что таких точек принадлежащих промежутку (–8; 6) пять. Найдем сумму их абсцисс: -6 + (-4) + (-2) = 6. Ответ: у = f (x)

На рисунке изображен график производной у = f (x) – функции f(x), определенной на интервале (–10; 8). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. у = f (x) + + Решение: Заметим, что функция f(x) возрастает, если производная функции положительна; а значит, необходимо найти сумму целых точек, входящих в промежутки возрастания функции. Таких точек 7: х = 3, х = 2, х = 3, х = 4, х = 5, х = 6, х = 7. Их сумма: 3+( 2) = Ответ: 20.

Используемые материалы ЕГЭ Математика. Задача В8. Геометрический смысл производной. Рабочая тетрадь / Под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко. 3-е изд. стереотип. М.: МЦНМО, с. Материалы открытого банка заданий по математике 2012 года