Центральная симметрия

Осевая симметрия

Зеркальная симметрия

Поворотная симметрия

Равенство и однообразие расположения частей фигуры выявляют посредством операций симметрии. Операциями симметрии называют повороты, переносы, отражения и их комбинации. Под поворотами понимают обычные повороты вокруг оси на 360°, в результате которых равные части симметричной фигуры обмениваются местами, а фигура в целом совмещается с собой. Ось, вокруг которой происходит поворот, называется простой осью симметрии (п). Это название не случайное, так как в теории симметрии различают еще и сложные оси различного рода. Число совмещений фигуры с самой собой при одном полном обороте вокруг оси (п) называется порядком оси. Объекты, которые имеют лишь одну простую ось симметрии того или иного порядка имеют осевую или аксиальную симметрию. Под отражениями понимают любые зеркальные отражения в точке, линии, плоскости. Воображаемая плоскость, которая делит фигуры на две зеркальные половины, называется плоскостью симметрии. Рак, бабочка, лист растения обладает лишь одной плоскостью симметрии, делящей ее на две зеркально равные части. Поэтому данный вид симметрии в биологии называется двусторонней или билатеральной.

Тела, обладающие уже не одной, а четырьмя плоскостями симметрии, пересекающимися на оси четвертого порядка имеют радиальную симметрию. Симметрию таких тел можно обозначить так: 4*т. Цифра 4 здесь означает одну ось симметрии четвертого порядка, a m плоскость, точка знак пересечения четырех плоскостей на этой оси. Общая формула симметрии таких фигур записывается в виде п * т, где п - символ оси, т - символ плоскости; может быть равно 1, 2, 3,.... В биологии симметрия п * т называется радиальной (из-за целого веера пересекающихся на оси плоскостей). Понятно, что билатеральная симметрия частный случай радиальной, так как в этом случае т = 1 * т. Переносы это перемещения вдоль прямой АВ на расстояние а. Такая операция применима лишь для объектов, вытянутых в одном особенном направлении АВ. Наименьший путь а, который должен быть пройден рядом фигур, прежде чем произойдет самосовмещение, называется элементарным переносом. Операции переноса также соответствует особый элемент симметрии ось переносов (а): прямая АВ или любая прямая, параллельная АВ. Ось переносов (о) присуща только бесконечным фигурам, тем, которые бесконечно вытянуты лишь в одном особенном направлении (типа «стержней»), в двух особенных направлениях (типа «слоев»), в трех особенных направлениях (типа «кристаллов»). При этом считается, что телам, не вытянутым бесконечно ни в одном особенном направлении, присуща нульмерная симметрия; телам, вытянутым в одном особенном направлении, одномерная симметрия, в двух двумерная симметрия, в трех трехмерная симметрия. А теперь каждую из этих симметрии рассмотрим по порядку.

1.Нульмерная симметрия, как уже говорилось, присуща телам, бесконечно не вытянутым ни в одном особенном направлении. Очевидно, такова симметрия отдельной буквы А, отдельного атома углерода (С)(а), листа растения, моллюска, человека, молекулы углекислого газа (СО2), воды (Н2О) (б), Земли, Солнечной системы. Сюда же относятся некоторые исключительно симметричные примитивные организмы. Теоретически возможно бесчисленное множество видов нульмерной симметрии. Однако практически в живой природе наиболее распространенными оказываются уже известные нам симметрии вида и п * m и особенно частный случай последнего вида: 1 * m = m. Любопытно, что двусторонняя симметрия m в неживой природе не имеет преобладающего значения, но зато чрезвычайно богато представлена в живой природе. Она характерна для внешнего строения тела человека, млекопитающих, птиц, пресмыкающихся, земноводных, рыб, многих моллюсков, ракообразных, насекомых, червей, а также многих растений, например цветков львиного зева. Полагают, что такая симметрия связана с различиями движений организмов вверх вниз, вперед назад, тогда как их движения направо налево совершенно одинаковы. Нарушение билатеральной симметрии неизбежно приводит к торможению движения одной из сторон и изменению поступательного движения в круговое. Поэтому не случайно активно подвижные животные двусторонне симметричны. Но такой вид симметрии встречается и у неподвижных организмов и их органов. Она возникает в этом случае вследствие неодинаковости условий, в которых находятся прикрепленная и свободная стороны. По-видимому, так объясняется билатеральность некоторых листьев, цветков и лучей коралловых полипов. Б

Совершенные нульмерно-симметричные примитивные организмы радиолярии (рис1): а шарообразная, содержащая бесконечное число осей бесконечного порядка + бесконечное число плоскостей симметрии + центр симметрии; б кубическая, характеризующаяся симметрией куба, исчерпываемой 3 осями четвертого порядка + 4 осями третьего порядка + 6 осями второго порядка + 9 плоскостями + центром симметрии; в додекаэдрическая, характеризующаяся симметрией правильных многогранников додекаэдра и икосаэдра, исчерпываемой 6 осями пятого порядка + 10 осями третьего порядка +15 осями второго порядка + 15 плоскостями + центром симметрии. 2.Одномерная симметрия присуща телам, во-первых, вытянутым в одном каком-либо особенном направлении, во- вторых, вытянутым в этом направлении благодаря монотонному повторению «размножению» одной и той же части. Из биологических объектов такую симметрию имеют наиболее важные для обмена веществ полимерные цепные молекулы белков, нуклеиновых кислот, целлюлозы, крахмала; вирусы табачной мозаики, побеги традесканции, отрезки тела полихет и многих других животных. Наконец заметим, что симметрия молекулы ДНК, вируса табачной мозаики обусловлена переносом + поворотом. Поэтому их симметрия и содержит винтовую ось соответствующего вида. Симметрия же побега традесканции обусловлена переносом + отражением, т. е. она ограничивается лишь одной плоскостью скользящего отражения.

Две точки N и K называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка NK, (рис.2, б). Точка О считается симметричной самой себе.

Каждая точка прямой а, считается симметричной самой себе. Т.е. если начертить на листке бумаги чертеж (рис.1, б) и согнуть лист по прямой б то, окажется, что точки М и D, G и H симметричны относительно прямой б. Тогда точка P симметрична самой себе относительно этой прямой.

Две точки N и K называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка NK и перпендикулярна к нему

Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему. Фигура называется симметричной относительно оси а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно оси а также принадлежит этой фигуре. А а а

Этот равнобедренный треугольник имеет 3 оси симметрии

У прямоугольника – 2 оси симметрии

У круга бесконечное число осей симметрии - диаметров

Искусству конструирования можно научиться и у природы – создательницы организмов, геометрическому изяществу которых позавидует любой математик. Вот, например, простейшие морские организмы – радиолярии ( в переводе с латинского это название означает «золотой диск» ) В них все приспособлено в морской среде обитания : отростки – для координации движения, колючки – для защиты от морских хищников, форма – для сохранения устойчивости в воде. Эти организмы живут как на поверхности моря, так на разных его глубинах. Радиолярии незаметны невооружённым глазом. Но если посмотреть в микроскоп, откроется фантастическая природная геометрия симметрий разного порядка.

Симметрия многолика. Она обладает свойствами, которые одновременно и просты. И сложны, способны проявляться и единожды, и бесконечно много раз. В природе шестиугольная форма чаще всего встречается у снежинок. Об этом факте много размышлял известный астроном Иоганн Кеплер. Он объяснил это тем, что вода, сгущаясь под воздействием холода, скапливается вокруг центра и вокруг радиусов, расставленных в шестиугольном порядке. « Я считаю, что теплоту, охранявшую до сих пор вещество, одолел холод, и она как действовала (исполненная формообразующего начала ), соблюдая порядок, и как сражалась, не нарушая его, так и в бегство обратилась, сохраняя известный порядок, и отступила.»

Мир симметричных фигур огромен. Я постаралась только немного прикоснуться к нему. Приглядитесь внимательно к окружающему нас миру сами. Симметрия… является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство. Г. Вейль