Презентацию подготовила Ученица 10 А класса Колантаевская Анна

Содержание на титул Самоподобные фигурыСамоподобные фигуры Вычисление площадей и длин самоподобных фигурВычисление площадей и длин самоподобных фигур Фракталы Классификация фракталовКлассификация фракталов Заключение

Самоподобной геометрической фигурой, называют фигуру, которую можно разбить на конечное число одинаковых фигур, подобных ей самой. Простейшими самоподобными фигурами являются: правильный треугольник и квадрат.

Существуют самоподобные фигуры весьма причудливых очертаний. Построим простейшую самоподобную фигуру, имеющую неограниченное число элементов. 1. Исходный отрезок делим на три равные части. 2. Из точек деления под углом 45˚ проводим отрезки, составляющие треть длины исходного отрезка.

3. Ту же процедуру повторяем по отношению к вновь построенным отрезкам. и т. д.

Интересным примером самоподобной кривой является «кривая дракона», придуманная Э. Хейуэем. назад

Один из первых примеров таких фигур был придуман в начале ХХ века немецким математиком Хельгой фон Кох (1870 – 1924) и называется «звезда Кох». Длина кривой, ограничивающей звезду Кох растет до бесконечности.

Аналогично, на каждом следующем шаге периметр многоугольника увеличивается в Просчитаем эту длину: 1. a=1 S=3*a=3 На каждом следующем шаге число сторон увеличивается в четыре раза, и длина каждой из них в три раза меньше исходной. Т.е 2. S=3*4/3=4 раза, становясь все больше и больше. Из этого следует, что кривая Кох, к которой приближаются многоугольники, будет иметь бесконечную длину.

Рассмотрим автоподобную фигуру, придуманную польским математиком В. Серпинским ( ) и называемую ковром Серпинского. Отметим, что поскольку вырезаемые квадраты распо­ лагаются все более часто, в результате на ковре Серпинского не будет ни одного, даже самого маленького, квадрата без дырки.

Рассчитаем площадь ковра серпинского Вычислим площадь вырезаемых квадратов. a=1 S=1 1. a(1)=1/3 S(1)=1/9 2. a(2)=1/9 S(2)=3*1/81=1/9 На каждом следующем шаге число вырезаемых квадратов увеличивается в восемь раз, а площадь каждого из них уменьшается в девять раз. Т.о., общая площадь вырезаемых квадратов представляет собой сумму геометрической прогрессии. S=(1/9)/(1-(8/9))=1 Т. е. площадь ковра Серпинского равна нулю. назад

Объекты, обладающие свойством самоподобия, современный американский математик Бенуа Мандельброт предложил называть ФРАКТАЛАМИ (от лат. frangere – «ломать», «разбивать»).

Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака- это не сферы, горы- не конусы, линии берега- не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой. Природа демонстрирует нам не просто высокую степень, а совсем другой уровень сложности.,- этими словами начинаетсяФрактальная геометрия природы, написанная Бенуа Мандельбротом.

Определение фрактала, данное Мандельбротом звучит так: Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому. Т.е. из любой части фрактала, сколько его не увеличивай, будет смотреть его маленькая копия.

В 1890 г. Джузеппе Пеано построил линию, которую мы сегодня без всякого сомнения называем фракталом. и т. д. назад

Классификация фракталов Геометрические фракталы Алгебраические фракталы Стохастические фракталы Для того, чтобы представить все многообразие фракталов удобно прибегнуть к их общепринятой классификации: назад

Геометрические фракталы Такие фракталы с помощью некоторой ломаной- генератора. За один шаг алгоритма каждый из отрезков ломанной заменяется на ломанную- генератор в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал. назад

Алгебраические фракталы Для построения таких фракталов берут формулу, подставляют в нее число и получают результат. Затем подставляют в эту же формулу результат и получают следующее число, и процедура эта повторяется много раз. В результате получается набор чисел, которые являются точками фрактала. Примерами алгебраических фракталов могут служить множества Мандельброта.

назад

Стохастические фракталы Стохастические фракталы получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом поменять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д.

назад

Аналогичное свойство самоподобия обнаруживают многие объекты в природе, стоит лишь повнимательнее к ним присмотреться. Ветка папоротника Деревья Раковины многих моллюсков и улиток