Элементы геометрии Пуанкаре Автор: Соболева Екатерина, 8 класс Руководитель: Лытина О.В., учитель математики

Жюль Анри́ Пуанкаре́ Жюль Анри́ Пуанкаре́ французский математик, физик, астроном и философ. Глава Парижской академии наук, член Французской академии и ещё более 30 академий мира, в том числе иностранный член-корреспондент Петербургской академии наук. Историки причисляют Анри Пуанкаре к величайшим математикам всех времён. Его перу принадлежат более 500 статей и книг. «Не будет преувеличением сказать, что не было такой области современной ему математики, чистой или прикладной, которую бы он не обогатил замечательными методами и результатами».

Определение. Р – плоскостью называется верхняя евклидова полуплоскость, определяемая прямой XX, причём сама прямая XX исключается. Определение. P-точками называются евклидовы точки верхней полуплоскости, определяемой прямой XX (точки самой прямой XX исключаются). Определение. P-прямыми называются евклидовы полуокружности верхней полуплоскости, ортогональные к оси XX, то есть имеющие центры на этой прямой, а также евклидовы полупрямые, перпендикулярные к прямой XX, с вершинами на этой прямой и расположенные в верхней полуплоскости. Определение. Будем говорить, что «некоторая P-точка инцидентна с некоторой P-прямой» или что она «лежит» на этой P-прямой, если соответствующая евклидова точка в обычном смысле слова лежит на соответствующей евклидовой полуокружности или полупрямой.

Нетрудно убедиться, что справедливы все аксиомы евклидовой геометрии, касающиеся взаимного расположения точек и прямых и порядка точек на прямой.. Если A и B – две точки верхней полуплоскости, то через них проходит либо единственная полуокружность с центром O на прямой XX, либо единственная полупрямая, перпендикулярная к прямой XX. Таким образом, в новой терминологии имеем: Через любые две P-точки проходит одна и только одна P-прямая.

Аксиома: Существуют точки, лежащие на прямой и точки, не лежащие на прямой. Вытекает из того, что на каждой полуокружности и полупрямой существует бесконечное множество точек и вне каждой из них существуют точки верхней полуплоскости.

Определение. Пусть A, B, C – три P-точки, лежащие на P-прямой a. Будем говорить, что P-точка C лежит между A и B, если точка C лежит между точками A и B на соответствующей полуокружности или полупрямой в обычном евклидовом смысле. Тогда выполняются евклидовы аксиомы второго порядка: Если точка С лежит между точками А и В, то все три точки лежат на одной прямой. Для каждых точек А и С существует точка В, что С лежит между А и В. Из трех точек прямой только одна из них лежит между двумя другими.

Определение. Система двух точек прямой A и B называется отрезком AB или BA; точки A и B называются концами отрезка; точки, лежащие между A и B (если такие точки существуют), называются точками отрезка AB или внутренними точками отрезка AB; все остальные точки прямой AB называются внешними точками к отрезку AB.

Определение. Множество всех P-точек P-прямой a, лежащих по одну и ту же сторону от P-точки O, то есть принадлежащих к одному классу, называется P-лучом или P-полупрямой, исходящей из P-точки O, называемой началом или вершиной P-луча.

Определение. Пара P-лучей h, k, выходящих из P-точки O и не принадлежащих одной P-прямой, называется P-углом, который обозначается знаком ے(h, k) или ے(k, h). Если A и B – Р-точки, лежащие соответственно на P-лучах h и k, то P-угол обозначается также ےAOB или ےBOA. P-точка O называется вершиной угла, P-лучи h и k – сторонами угла.

Две различные Р-прямые могут пересекаться не более чем в одной точке.

Если же они не пересекаются, то они имеют общую бесконечно удаленную точку (невидимую!) или не имеют общих точек даже на невидимой границе. В первом случаемы будем называть такие P-прямые параллельными, а во второмсверхпараллельными.

Как обстоит дело с аксиомой параллельности?.Пусть дана верхняя полуокружность a с центром на XX и не принадлежащая ей точка A. Существуют две и только две верхние полуокружности b и c (одна из них может обратиться в луч, ортогональный к XX) с центрами на XX, проходящие через A и касающиеся полуокружности a в точках M и N оси XX. Тогда прямая b параллельна прямой а и прямая с также параллельна прямой а. Очевидно, что через точку A проходит бесконечное множество верхних полуокружностей с центрами на XX, не имеющих общих точек с a (все они проходят внутри заштрихованных вертикальных криволинейных углов, образуемых полуокружностями b и c); через A проходит также бесконечное множество верхних полуокружностей с центрами на XX, пересекающих a (все они проходят внутри не заштрихованных углов).аксиомой параллельности

В установленной нами терминологии этот факт можно выразить так: В пучке P-прямых, проходящих через P-точку A, существует бесконечное множество P-прямых, не пересекающих P-прямую a, и бесконечное множество P-прямых, пересекающих P-прямую a. Т. Е. через точку А можно провести бесконечное множество прямых параллельных прямой а. Полуокружность e, проходящая через A и ортогональная к a, играет роль перпендикуляра, опущенного из P-точки A на P-прямую a,

Перпендикулярные прямые.

Расстоянием между двумя точками A и B : P-прямые будут кратчайшими линиями между лежащими на них двумя точками. Определенное таким образом расстояние ρ (A,B) обладает обычными свойствами евклидова расстояния: 1) ρ (A,B) = ρ (B,A); 2) если A, B, C лежат на одной P-прямой и B [AC], то ρ(A,B)+ρ(B,C) = ρ(A,C) ; 3) для любых точек A, B, C: ρ(A,B) + ρ (B,C) > ρ(A,C) неравенство треугольника, причем равенство имеет место лишь тогда, когда B [AC].

Треугольники и многоугольники.

Некоторые теоремы в модели Пуанкаре теорема. Сумма P-углов P-треугольника меньше двух прямых.

Понятие равенства углов не отличается от евклидова. Поэтому выполняются все три признака равенства треугольников. Но есть еще один признак равенства треугольников: равные треугольники с попарно равными углами. То есть если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Из «точки» A к «прямой» a можно провести только один перпендикуляр p. Из A проводим к окружности a касательную AB; из середины C отрезка AB проводим перпендикуляр CU к «линии центров» AO. Окружность с центром U и радиусом UA – искомая. На рисунке показан частный случай.

Все P-прямые, перпендикуляр- ные к фиксированной P-прямой, сверхпараллельны.

Две сверхпараллельные P-прямые a и b имеют общий перпендикуляр и притом только один. Это значит, что существует лишь одна окружность, пересекающая ортогонально две данные окружности без общих точек и имеющая центр на их линии центров. Построение ведём, например, так: проводим общую касательную AB к окружностям a и b, делим её пополам в точке C и опускаем перпендикуляр на XX, то есть строим радикальную ось двух данных окружностей. Проводим окружность с центром O радиусом r, равным длине касательной на O к двум данным окружностям. Окружность с центром O и есть изображение в данной модели общего перпендикуляра к двум сверхпараллельным Л-прямым.

У тупоугольного (но не остроугольного) P-тре- угольника высоты могут быть сверхпараллельны (на рис. 46).

У равнобедренного P-треугольника углы при основании равны, а биссектриса угла при вершине является медианой и высотой.

В 1904 г. Анри Пуанкаре предположил, что любой трехмерный объект, обладающий определенными свойствами трехмерной сферы, можно преобразовать в 3-сферу. На доказательство этой гипотезы ушло 99 лет. (Внимание! Трехмерная сфера – это не то, о чем вы подумали).

Российский математик Перельман доказал высказанную сто лет назад гипотезу Пуанкаре и завершил создание каталога форм трехмерных пространств. Григорий Перельман, доказавший гипотезу Пуанкаре, отказывается от многочисленных наград, и денежных премий, которые присуждают ему за это достижение, сообщает газета Guardian. После широкомасштабной проверки доказательства, которая продолжалась почти четыре года, научное сообщество пришло к выводу, что решение Перельмана верно. Гипотеза Пуанкаре относится к числу семи важнейших математических задач тысячелетия, за решение каждой из которых Математический институт Клэя (Clay Mathematics Institute) назначил премию в один миллион долларов.