y x Быкадорова Анна 11 «а»

Самый трудный материал, с которым приходится встречаться школьникам на экзаменах, - это задания с параметрами. Актуальность проекта

Цель: Создание учебно – методического пособия для проведения уроков алгебры

Задачи: Научиться подбирать необходимые приемы решения примеров с параметрами Развивать логическое мышление и творческие способности

Исследуем квадратный трехчлен: f(x) = ax + bx + c ( a O ) Графиком данной функции является парабола В зависимости от величины дискриминанта возможны различные случаи расположения параболы по отношению к оси абсцисс -Если D > O, то существует два различных действительных корня трехчлена, а значит и две точки пересечения параболы осью OX - Если D = О, то эти точки совпадают ( случай кратного корня ) - Если D < O, то точек пересечения с осью OX нет при а > О график параболы лежит целиком выше оси OX при а < О - ниже у х о у х 2

При решении многих задач требуется знание трех основных теорем о расположении корней квадратного трехчлена f(x) = ax + bx + c, х 1 и х 2 – его действительные корни и х 0 – какое – нибудь действительное число 2

Для того, чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше, чем число х0 ( лежали на координатной оси левее, чем х0), необходимо выполнение условий Если а > 0 D 0 0 Если а < 0 D 0

Чтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем число х0, а другой больше числа Х0, ( т.е точка х0 лежит между корнями), необходимо и достаточно выполнение условий: Если а > 0 f(x0) < 0 D > 0D > 0 Если а < 0 D > 0 f(x0) > 0 x1 x2x0 f(x0) x1 x2 x0 f(x0)

Чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число Х0, ( лежали правее, чем х0), необходимо и достаточно выполнение условий: Если а > 0 D 0 > x 0 f(x 0 ) > 0 Если а < 0 D 0 > x0 f(x0) < 0 x1x2 х0 f(x 0 ) x1x2 x0 f(x 0 )

Наиболее часто встречающиеся следствия из этих теорем 1 Чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чум число М, но меньше, чем число А, ( лежали между М и А), необходимо и достаточно Если а > 0 f(М) > 0 f(A) > 0 D 0 M A x1x2 f(М) f(A) Если а > 0 f(М) < 0 f(A) < 0 D 0 MA x1x2 f(М)f(A)

2 Чтобы только больший корень квадратного трехчлена лежал в интервале МА, необходимо и достаточно: Если а > 0 f(М) < 0 f(A) > 0 M A x1x2 f(М) f(A) Если а < 0 f(М) > 0 f(A) < 0 M A x1x2 f(М) f(A)

3 Чтобы один корень квадратного трехчлена был меньше, чем М, а другой больше, чем А, (отрезок МА целиком лежал в интервале между корнями), необходимо и достаточно: Если а > 0 f(М) < 0 f(A) < 0 MA x1x2 f(М)f(A) Если а < 0 f(М) > 0 f(A) > 0 MA x1x2 f(М)f(A) Эта группа теорем и следствий очень часто применяются при решении задач с параметрами и потому имеет большое значение

Решить уравнение при всех значениях параметра а Х – 6 Х + 8 = а 2

Решение Рассмотрим графики двух функций 1.За основу возьмем график функции Парабола, ветви вверх у1=0 при х1=2, х2=4 2.Отобразим симметрично относительно оси ОУ часть графика, находящуюся правее ее 3.Отобразим симметрично относительно оси ОХ часть графика, находящуюся ниже ее у = Х – 6 Х + 8 Х – 6 Х + 8 f(x) = х у Х – 6 Х + 8 у1=у1= у2=у2= у3=у3= у = к – график прямая, параллельная оси абсцисс у х 0 у = к

Совместив графики обеих функций получим: у Х – 6 Х у = у = а х 1 Если а < 0, то графики не пересекаются, а следовательно уравнение не имеет корней 2. Если а2= 0, то уравнение имеет 4 корня ( -4,-2,2,4) 3.Если 0

Сколько корней имеет уравнение X+1=aX? Разобьем данное уравнение на две функции y = x+1 y = ax Построим график : -за основу берем график функции y = ax – график прямая, y = x+1 проходящая через начало координат -отобразим симметрично относительно оси ОХ часть графика, находящуюся ниже этой оси y x y = x+1 y x y = ax 1

Совместив графики обеих функций получим: х у о у = х + 1 у = ах

ОТВЕТ: 1 Уравнение имеет одно решение при а=0, a>1, a < -1 2 Уравнение имеет два решения -1

При каких значениях параметра а уравнение 2х –а +1 = х+3 имеет единственное решение Решение 2х – а = х Рассмотрим графики функций у = 2х – а –графиком является острый угол с вершиной (а/2;0),вид у = 2х у х 0 а/2 у = 2х – а у = х + 3 – 1 – графиком является прямой угол с вершиной (-3;-1), вид у = х х у 0 -3 у = х + 3 – 1

Совместив графики обеих функций получим: у 0 -3 х Ответ: уравнение имеет одно решение если а/2 = -4, а = -8 а/2 = -2, а = -4

Исследовать на количество корней уравнение (а + 4х – х – 1)(а + 1 – х -2 ) = 0 Решение а + 4х – х – 1 = 0 или а + 1 – х - 2 = 0 а = х – 4х + 1 а = х Построим графики обеих функций в одной системе координат у = х – 4х +1 – график парабола, вид у = х, вершина (2;-3) у = х -2 -1, вид у = х, вершина угла (2;-1)

а х у = х – 2 – 1 у = х – 4х Ответ: 1 При а < -3, корней нет 2 При а = корень 3 При -3 < а < -1 а = корня 4 При а = корня 5 При а > корня

При всех значениях параметра а решить уравнение: х х + 5 = а Разобьем данное уравнение на две функции у = х х + 5 и у = а Построим графики данных функций в одной системе координат у = х х х – 13,если х < -8 у = 3, если -8 х < -5 2х + 13, если х -5 у = а – прямая параллельная оси ОХ

х у у = х х + 5 у = а Ответ: При а < 3,корней нет При а = 3, бесконечное множество корней Х принадлежит отрезку от -8 до -5 При а > 3, 2 корня

Найти все значения р, при которых уравнение 6cos x + p = 5cos 2x не имеет корней Решение Применим для cos 2x формулу двойного угла, получим 6cos x + p = 5 ( 2 cos x – 1) 6 cos x – 10 cos x + 5 = -р Пусть t = cos x, -1 t 1 6t – 10t + 5 = -p, введем функцию у(t) = 6t – 10t + 5 и изобразим эскиз ее графика. Исследуем функцию: у(t) = 18t – 20t у(t) у(t) = 0 18t – 20t = 0 : 2 у(t) t(9t – 10) = 0 t 1 =0, t 2 = 1 - посторонний корень max y(0) = 5 y(-1) = -11 y(1) = t max

t y y = 6t – 10t Ответ: Уравнение не имеет корней, Если -р > 5, р < -5 Если -р 11

Не забывайте о графическом способе решения задач. В заданиях, где неизвестные или параметры стоят под знаком модуля или радикала, графический способ часто приводит к результату быстрее и надежнее

,

Итог: Мною было создано учебно – методическое пособие для проведения уроков алгебры Руководитель проекта: Дубянская О. В.

Рефлексия: 1) Цели, поставленные передо мной были полностью выполнены. 2) Мною было создано наглядное методическое пособие, которое является крайне полезным для проведения уроков алгебры. Пособие было использовано на практике во время занятий в 11х классах и дало желаемые результаты, т.е. более глубокое понимание темы учащимися. 3) Проект помог мне овладеть теоретическим материалом и приобрести навык решения уравнений с параметрами. 4) Усовершенствовались навыки работы в сфере проектной деятельности.