Cвойства делимости

В множестве целых чисел всегда выполнимы сложение, вычитание и умножение чисел, т.е. сумма, разность и произведение целых чисел всегда являются целыми числами.

В отдельных случаях при делении одного целого числа на другое в частном получается целое число. Напомним; что разделить число а на число b, где b 0, это значит найти такое число k, при умножении на которое числа b получается а, т.е. верно равенство bk = а.

Почему в0 ? ПРИ в=0 и а О равенство 0 k = а не является верным ни при каком k, а при а = О равенство 0 k = а верно при любом k, т.е. частное становится неопределенным. Это делает понятной часто употребляемую фразу: «на нуль делить нельзя».

Рассмотрим случай а и Ъ (b 0) целые числа и частное от деления a на b также является целым числом, т.е. когда существует целое число k такое, что а = bk. В таком случае говорят, что «а делится на b нацело» или, короче: «a делится на b». Определение. Целое число а делится на целое число b, не равное нулю, если существует такое целое число k, что а= bk.

Например, 56 делится на -8, так как 56 = (-8) (-7), где -7 целое число, а 78 не делится на -8, так как не существует такого целого числа k, для которого верно равенство 78 = (-8)k.

Если а делится на b, то число b называют делителем числа а, а число а кратным числа b. Говорят также, что «а кратно b». Например, делителями числа 4 являются числа 1, -1, 2, -2, 4, -4. Кратными числа 4 являются числа 4, -4, 8, -8, 12, -12 и т. д., вообще любое число вида 4m, где т Z.

Рассмотрим некоторые свойства делимости (буквами обозначены целые числа): Всякое число а, отличное от нуля, делится на себя. Нуль делится на любое число b, не равное нулю. Если а делится на b (b 0) и b делится на с (с 0), то а делится на с. Если а делится на b (b 0) и b делится на а (а 0), то числа а и b либо равны, либо являются противоположными Запишите эти свойства с помощью символов.

Третье свойство. Из определения делимости следует, что а = bk, b = cm, где k и т целые числа. Отсюда а = (cm)k, т.е. в силу сочетательного свойства умножения а = c(mk), где mk целое число, а это означает, что а делится на с. Запишите эти свойства с помощью символов

Четвертое свойство. Из определения делимости следует, что а = bk и b = am, где k и т целые числа. Отсюда а = (am)k, т.е. а = a (mk). Так как а 0, то mk = 1. Однако mk = 1 для целых чисел,если т = k =1 или т = k =-1 В первом случае числа а и b равны, во втором они отличаются только знаком. Запишите эти свойств с помощью символов

Пример 1. Пусть а є Z, b є Z(b0), Докажем если а делится на b, то (a^n )делится на b^n п при n є N, Из определения делимости существует такое целое число k, что а = bk. Возведя обе части этого равенства в степень n, получим, что a^n = (bk)^n, т.е. a^n = b^n * k^n. Так как k целое число и b 0, то k^n и целое число и b^n0.. Следовательно, по определению a^n делится на b^n.

299.Укажите, если возможно, два значения а, при которых верно высказывание: а)а делится на 11; в) 0 делится на а; б)17 делится на а; г) а делится на 0.

Докажите, что если а кратно 6 и b кратно 5, то произведение а кратно 30.

303.Пусть F множество чисел, кратных 36. Принадлежит ли множеству F число а, если известно, что: а) а кратно 9; б) a кратно 72; в) а кратно 108?

Верно ли высказывание: а)если а делится на 15, то а делится на 5; б)если а делится на 5, то а делится на 15; в)если а делится на 30, то а делится на 90; г)если а делится на 105, то а делится на 35?

302.Покажите с помощью кругов Эйлера соотношение между множествами А и В, если: а)А множество чисел, кратных 4, В множество чисел, кратных 12; б)А множество чисел, кратных 96, В множество чисел, кратных 16; в)А множество чисел, кратных 37, В множество чисел, кратных 111.

303.Пусть F множество чисел, кратных 36. Принадлежит ли множеству F число а, если известно, что: а) а кратно 9; б) a кратно 72; в) а кратно 108?

На схеме Эйлера меньший из кругов изображает множество чисел, кратных 12. Приведите пример бесконечных множеств, которые могут изображать два других круга.

На схеме Эйлера средний круг изображает множество чисел, кратных 4. Приведите пример бесконечных множеств, которые могут изображать два других круга.