- познакомиться понятием плоского угла, дополнительного плоского угла, центрального угла и угла, вписанного в окружность; - доказать теорему о градусной мере угла, вписанного в окружность; - познакомиться со следствиями из теоремы; - отработать первичные навыки решения задач по данной теме.

1. На сколько частей разбивают плоскость 2 пересекающиеся прямые? 2. На сколько частей разбивают плоскость два различных луча, выходящие из одной точки?

120º А С В Найти неизвестные углы треугольника АВС. 160º А С В А С В А С В 35º 50º 75º 140º ? ?? ? ? ? Определить градусную меру угла АОС.

Любой угол разбивает плоскость на две части. а в Каждая из полученных частей называется плоским углом. Два плоских угла с общими сторонами называются дополнительными. Полупрямые а и в – стороны плоских углов. Градусной мерой плоского угла является градусная мера обычного угла. Градусная мера дополнительных плоских углов равна 360º. α360º - α Если один из этих углов равен α, тогда второй угол равен 360º - α.

Плоский угол, вершина которого расположена в центре окружности, называется центральным углом в окружности. О Часть окружности, расположенная внутри плоского угла называется дугой окружности, соответствующей центральному углу. центральный угол дуга окружности Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.

Построим окружность с центром О. О Отметим произвольную точку А, лежащую на окружности. А Построим ВАС, стороны которого пересекают окружность. С В ВАС – угол, вписанный в окружность. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны которого пересекают окружность, называется вписанным в окружность. ВАС,СЕК,АСМ- углы, вписанные в окружность. А С В К С Е А С М

Построим окружность и угол ВАС, вписанный в эту окружность. О А С В Стороны угла ВАС пересекают окружность в точках В и С. Построим центральный угол ВОС, который пересекает окружность в тех же точках, что и угол ВАС. ВОС – центральный угол, соответствующий вписанному ВАС.

3. Назовите центральный угол, соответствующий вписанному ВАС, А С В О МКН. М К Н 2. Назовите центральные углы. 1. Назовите вписанные углы.

Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла. 1. Докажем это утверждения для частного случая, когда одна из сторон угла проходит через центр окружности. О А С В АВС – вписанный, АОС – соответствующий центральный угол. Докажем, что АОС = 0,5 АВС. Доказательство. АОВ – равнобедренный ( АО = ВО – радиусы), значит ОВА = ОАВ (углы при основании), АОС – внешний угол АОВ при вершине О, значит АОС = ОВА + ОАВ= 2 ОВА, откуда АОС = 0,5 АВС.

В доказательстве общих случаев используется рассмотренный частный случай. Возможны следующие варианты: а) центр окружности принадлежит вписанному углу и б) центр окружности не принадлежит вписанному углу. а) О А С В Проведем луч АМ, проходящий через центр окружности. ВАМ = 0,5 ВОМ, М САМ = 0,5 СОМ Складывая почленно эти равенства, получаем: ВАМ + САМ = 0,5 ВОМ + 0,5 СОМ= 0,5 (ВОМ + СОМ) = = 0,5 ВОС. Т. к ВАМ +САМ = ВАС, тоВАС = 0,5 ВОС.

б) центр окружности не принадлежит вписанному углу А С В М О Проведем луч АМ, проходящий через центр окружности. ВАС = ВАМ - САМ ВАМ = 0,5 ВОМ, САМ = 0,5 СОМ, ВАС = 0,5 ВОМ - 0,5 СОМ= 0,5 (ВОМ - СОМ) =0,5 ВОС. тогда Теорема полностью доказана.

Все вписанные углы, стороны которых проходят через данные точки А и В на окружности, а вершины которых лежат по одну сторону от прямой АВ, равны. О А и В – точки, лежащие на окружности, С, Н, К, М – точки, лежащие на окружности по одну сторону от прямой АВ, А С В М К Н тогда АСВ= АНВ= АКВ= АМВ.

Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые. А Рассмотрим окружность с центром О. АВ – диаметр. О В АСВ= АЕВ = АКВ С К Е = 90º

48 (2), страница 190 Сумма двух дополнительных плоских углов равна 360º. Пусть градусная мера меньшего угла хº, тогда градусная мера второго угла (х + 100)º. Составим и решим уравнение: х + х = 360 2х = 360 2х х = º - градусная мера одного угла 130º + 100º = 230º - градусная мера второго угла Ответ: 130º; 230º.

50, страница 190 Точки А, В, С – лежат на окружности. Чему равен угол АВС, если хорда АС равна радиусу окружности? 1-й случай А С В О Дано: ω(О;r), точки А; В; С принадлежат окружности АС = r. Найти: АВС. Решение. Достроим и рассмотрим АОС АО = СО = АС,тогда АОС – равносторонний, значит АОС = 60º, откуда АВС = ½ АОС = 30º Ответ: 30º. 60º