ГБОУ СОШ 1215 им. Р.Роллана ЦАО г. Москвы Автор: учитель математики Коновалова Ольга Владимировна Коновалова Ольга Владимировна Соавтор: ученица 8Б Князева Светлана

Цель проекта: Создание электронного интерактивного пособия для Создание электронного интерактивного пособия для изучения отдельных тем по геометрии 8 класса. Актуальность проекта: 1.Самостоятельное изучение пропущенного материала длительно отсутствующими на уроках материала длительно отсутствующими на уроках учащимися. учащимися. 2. Самостоятельное повторение учащимися пройденного материала. пройденного материала. 3.Применение проекта учителем на уроках.

Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии.

Урок 1. Тема: Определение и виды трапеций. Урок 1. Тема: Определение и виды трапеций. Урок 2. Тема: Свойства равнобокой трапеции. Урок 2. Тема: Свойства равнобокой трапеции. Урок 3. Тема: Средняя линия трапеции. Урок 3. Тема: Средняя линия трапеции. Теорема о средней линии трапеции. Теорема о средней линии трапеции. Урок 4. Тема: Решение задач. Урок 4. Тема: Решение задач. Урок 5. Тема: Тестирование. Урок 5. Тема: Тестирование.

A Вопросы: 1.Какая из представленных на рисунках фигур вам знакома? 2.Дайте определение параллелограмма. B C D C DA B Рис. 1Рис. 2 Урок 1 Вопросы

A BC D Определение: Четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие не параллельны, называется трапецией. AD, BC – основания трапеции. AB, CD – боковые стороны. Урок 1 Определение трапеции

Определение: Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой трапецией. MNKR – равнобокая трапеция, т. к. MN = KR. K R M N Урок 1 Определение равнобокой трапеции

A BC D Определение: Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной трапецией. ADC – прямой (90 ). BCD – прямой (90 ). Урок 1 Определение прямоугольной трапеции

Решение: 1.HP || MK – по определению трапеции, т.к. MHPK – трапеция (по условию). 2.PE || MH – по условию. Следовательно, MHPE – параллелограмм (по определению параллелограмма). Дано: MHPK – трапеция PE || MH Определите вид MHPE P KM H Урок 1 E Задача 1

Решение: 1.DE AC – по теореме о свойстве средней линии треугольника, т.к. DE – средняя линия (по условию). AD = DB, BE = EC (по определению средней линии треугольника) и ABC- равносторонний, значит AD = EC, следовательно, ADEC – равнобокая трапеция (по определению равнобокой трапеции). 2. AC = AB = BC = 8см; AD = EC = ½AB = 4см. 3.DE = ½AC = 4см – по теореме о свойстве средней линии треугольника. Дано: ABC- равносторонний AC = 8см DE – средняя линия Определите вид ADEC; Найдите стороны ADEC. Урок 1 A B C D E Задача 2

Урок 2 Сумма углов при боковой стороне трапеции равна 180. A BC D

Доказательство: 1.AD BC (по определению трапеции). 2. DAB + ABC = 180, как внутренние односторонние при AD BC и секущей AB (свойство углов, образованных при пересечении параллельных прямых и секущей). Дано: ABCD – трапеция Урок 2 Свойство углов при боковой стороне трапеции A B C D Доказать: DAB + ABC = 180

В равнобокой трапеции углы при основании равны. A B D C Урок 2

Доказательство: 1. Дополнительное построение: BM AD и CN AD. 2. Рассмотрим ABM и DCN 1)AB = CD - по условию, как боковые стороны равнобокой трапеции. 2) AMB = DNC = 90 - по построению. 3) BM = CN, как расстояние между параллельными прямыми BC и AD. Следовательно: ABM = DCN по катету и гипотенузе. Значит, BAD = CDA, как соответствующие углы в равных треугольниках Примечание:. ABС = DСB, как внутренние односторонние углы с равными углами BAD = CDA. Дано: ABCD – равнобокая трапеция Доказать, что BAD = CDA. A B D M N C Урок 2 Теорема «О свойстве углов при основании равнобокой трапеции»

Урок 2 A B D M N C Высоты равнобокой трапеции, проведенные из концов меньшего основания, делят трапецию на два равных прямоугольных треугольника и один прямоугольник.

Доказательство: 1.BM AD, CN AD (по условию BM, CN - высоты) => BM CN, по признаку параллельных прямых (две прямые перпендикулярные третьей параллельны). BC MN (по определению трапеции); Следовательно, BCNM – параллелограмм по определению параллелограмма. Если хоть один угол в параллелограмме – прямой ( BMN=90, по условию), то BCNM – прямоугольник (признак прямоугольника). 2. Рассмотрим ABM и DCN 1)AB = CD по определению равнобокой трапеции.(ABCD – равнобокая трапеция по условию); 2) AMB = DNC = 90, т.к. BM, CN – высоты; 3) BM = CN, как расстояние между параллельными прямыми BC и AD. Следовательно ABM = DCN по катету и гипотенузе. Дано: ABCD – равнобокая трапеция BM, CN - высоты Доказать: 1. BCNM – прямоугольник; 2. ABM = DCN и ABM,DCN – прямоугольные. A B D M N C Урок 2 Следствие из теоремы «О свойстве углов равнобокой трапеции»

Урок 3 A BC D Определение: Отрезок, соединяющий середины боковых сторон называют средней линией трапеции. M N Определение средней линии трапеции

Урок 3 A B DM C Вопросы: 1. Какая фигура называется трапецией? 2. Какие четырёхугольники являются трапециями? 3. Назовите их основания и боковые стороны.Вопросы P ORN AB1B1 C1C1 B C S T H

Урок 3 A B DMN C Вопросы: 1. Какая трапеция называется равнобокой? 2. Как называются перпендикуляры BM и CN, опущенные на основание? 3. На какие фигуры разбивают данные высоты ВМ и CN равнобокую трапецию? 4. Какие свойства равнобокой трапеции вы знаете?Вопросы

Урок 3 Вопросы Вопрос: 1. На какие фигуры разбивает KR равнобокую трапецию? R N PM K KR MN

Урок 3 Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. A B D Q C P

Доказательство: 1.Дополнительное построение BP AD = E. 2.PBC = PED (по стороне и двум прилежащим углам). 1) CP = PD (т.к. QP средняя линия трапеции); 2) BPC = EPD (как вертикальные углы); 3) BCP = EDP (как внутренние накрест лежащие углы при BC AD и секущей CD); 3. QP – средняя линия ABE, т.к. BP = PE, как соответствующие элементы в равных треугольниках (из п.2) и АQ = QВ т.к. QP средняя линия трапеции. Значит QP AD и QP = ½ AE по свойству средней линии треугольника. 4. Т.к. АЕ=AD + DE, а DE = BC, как соответствующие элементы в равных треугольниках (из п.2), то QP = ½ AE = ½ (AD + DE) = ½ (AD + BC). Таким образом QP AD BC и QP = ½ (AD + BC), что и требовалось доказать. Дано: ABCD – трапеция QP – средняя линия Доказать: 1.QP AD BC; 2. QP = ½ (AD + BC) A B D Q E C Урок 3 Теорема «О средней линии трапеции» P

Решение: С = В, как прилежащие углы к основанию равнобокой трапеции. A+ B = 180, как внутренние односторонние при параллельных прямых AD, BC и секущей AB. Значит, A+ C = 180 Пусть х = A ( х+40 ) = C. Составим уравнение: ( х+40 ) + х = 180, 2х + 40 = 180, 2х = 140, х = 70. Дано: ABCD – равнобокая трапеция С – А = 40 Найти: A, B, C, D. A B D C Урок 4 Задача 1 A = 70 С = 110 D = 70 B = 110 Ответ: 70 ; 110 ; 110 ; 70.

Решение: 1.Дополнительное построение: BM AD и CN AD. 2.Рассмотрим ABM: M = 90 (по построению) А = 60 (по условию) B = 180 ( А+ M) = 30 Следовательно, AM = 0,5м (как сторона, лежащая против угла 30 в прямоугольном треугольнике). 3. AM = ND = 0,5м (т.к. ABM = DCN). 4.BC = AD AM ND = 2,7м 0,5м 0,5м = 1,7 м. Ответ: BC = 1,7 м. Дано: ABCD – равнобокая трапеция AB=CD AB=1м, AD=2,7м А = 60 Урок 4 Задача 2 B D M N C Определить BC. A ,7м

Решение Урок 5 Тестирование Варианты ответов: B=140 D=70 B=70 D=140 B=40 D=110 Задача 1 В трапеции ABCD с основаниями AD и BC угол A равен 40, а угол С равен 110. Найдите остальные углы трапеции. При решении использовать свойство углов при боковой стороне трапеции. BC AD Задача 1Задача 2Задача 3Задача 4

Урок 5 Тестирование Варианты ответов: 10 см 4 см 7 см Задача 2 Средняя линия трапеции равна 7см, а большее основание – 10 см. Найдите меньшее основание трапеции. При решении использовать теорему «О свойстве средней линии трапеции». Решение BC D A M N Задача 1Задача 2Задача 3Задача 4

При решении использовать признак равнобедренного треугольника. Урок 5 Тестирование Варианты ответов: 21 см 22 см 23 см Решение BC D A Задача 3 Диагональ равнобокой трапеции с основаниями 8 см и 5 см является биссектрисой острого угла трапеции. Найдите периметр трапеции. Задача 1Задача 2Задача 3Задача 4

Урок 5 Тестирование Задача 4 Диагональ AC делит прямоугольную трапеции ABCD на два треугольника – прямоугольный и равносторонний. Найдите среднюю линию трапеции, если ее большеe основание равно 12 см. BC AD При решении использовать теорему «О свойстве средней линии трапеции». Варианты ответов: 6 см 9 см 12 см Решение MN Задача 1Задача 2Задача 3Задача 4

Используемая в проекте литература: Используемая в проекте литература: Геометрия: учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений / А.В. Погорелов. – 10-е изд. – М.: Просвещение: ОАО «Московские учебники», Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии: для 8 кл. Ершова А.П., Голобородько В.В., Ершова А.С. – 8-е изд., испр. И доп. – М.: ИЛЕКСА,

Вы ознакомились с заключительным уроком Вы ознакомились с заключительным уроком по теме «Трапеция». Вернуться к оглавлению Вернуться к оглавлению

Урок 5 Тестирование Варианты ответов: B=140 D=70 B=70 D=140 B=40 D= A + B = 180 (свойство углов при боковой стороне трапеции), B = 180 A = = С + D = 180 (свойство углов при боковой стороне трапеции), D = 180 C = = 70. Ответ: B=140, D=70. Задача 1 В трапеции ABCD с основаниями AD и BC угол A равен 40, а угол С равен 110. Найдите остальные углы трапеции. При решении использовать свойство углов при боковой стороне трапеции. BC AD Задача 1Задача 2Задача 3Задача 4 Решение

Верно Урок 5 Тестирование Варианты ответов: B=70 D=140 B=40 D=110 Задача 1 В трапеции ABCD с основаниями AD и BC угол A равен 40, а угол С равен 110. Найдите остальные углы трапеции. При решении использовать свойство углов при боковой стороне трапеции. BC AD Решение Задача 1Задача 2Задача 3Задача 4

Не верно Урок 5 Тестирование Варианты ответов: B=140 D=70 B=40 D=110 Задача 1 В трапеции ABCD с основаниями AD и BC угол A равен 40, а угол С равен 110. Найдите остальные углы трапеции. При решении использовать свойство углов при боковой стороне трапеции. BC AD Решение Задача 1Задача 2Задача 3Задача 4

Не верно Урок 5 Тестирование Варианты ответов: B=140 D=70 B=70 D=140 Задача 1 В трапеции ABCD с основаниями AD и BC угол A равен 40, а угол С равен 110. Найдите остальные углы трапеции. При решении использовать свойство углов при боковой стороне трапеции. BC AD Решение Задача 1Задача 2Задача 3Задача 4

Урок 5 Тестирование Варианты ответов: 10 см 4 см 7 см Задача 2 Средняя линия трапеции равна 7см, а большее основание – 10 см. Найдите меньшее основание трапеции. При решении использовать теорему «О свойстве средней линии трапеции». BC D A 1. По теореме о свойстве средней линии трапеции: MN = ½ (BC + AD), => BC = 2MN AD = 27 см 10 см = 4 см. Ответ: BC = 4 см. M N Решение Задача 1Задача 2Задача 3Задача 4

Не верно Урок 5 Тестирование Варианты ответов: 4 см 7 см Задача 2 Средняя линия трапеции равна 7см, а большее основание – 10 см. Найдите меньшее основание трапеции. При решении использовать теорему «О свойстве средней линии трапеции». BC D A Решение M N Задача 1Задача 2Задача 3Задача 4

Верно Урок 5 Тестирование Варианты ответов: 10 см 7 см Задача 2 Средняя линия трапеции равна 7см, а большее основание – 10 см. Найдите меньшее основание трапеции. При решении использовать теорему «О свойстве средней линии трапеции». BC D A Решение M N Задача 1Задача 2Задача 3Задача 4

Не верно Урок 5 Тестирование Варианты ответов: 10 см 4 см Задача 2 Средняя линия трапеции равна 7см, а большее основание – 10 см. Найдите меньшее основание трапеции. При решении использовать теорему «О свойстве средней линии трапеции». BC D A Решение M N Задача 1Задача 2Задача 3Задача 4

При решении использовать признак равнобедренного треугольника. Урок 5 Тестирование Варианты ответов: 21 см 22 см 23 см BC D A Задача 3 Диагональ равнобокой трапеции с основаниями 8 см и 5 см является биссектрисой острого угла трапеции. Найдите периметр трапеции. 1. BAC = CAD (т.к. АС – биссектриса CAD по условию) и BCA = CAD (как внутренние накрест лежащие при AD BC и секущей AC), следовательно, BAC = BCA. 2. ABC – равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника), т.к. BAC = BCA из п AB = BC = 5 см (по определению равнобедренного треугольника). 4. P = AD + BC + 2AB = 8 см + 5 см + 25 см = 23 см. Ответ: 23 см. Решение Задача 1Задача 2Задача 3Задача 4

Не верно При решении использовать признак равнобедренного треугольника. Урок 5 Тестирование Варианты ответов: 22 см 23 см Решение BC D A Задача 3 Диагональ равнобокой трапеции с основаниями 8 см и 5 см является биссектрисой острого угла трапеции. Найдите периметр трапеции. Задача 1Задача 2Задача 3Задача 4

Не верно При решении использовать признак равнобедренного треугольника. Урок 5 Тестирование Варианты ответов: 21 см 23 см Решение BC D A Задача 3 Диагональ равнобокой трапеции с основаниями 8 см и 5 см является биссектрисой острого угла трапеции. Найдите периметр трапеции. Задача 1Задача 2Задача 3Задача 4

Верно При решении использовать признак равнобедренного треугольника. Урок 5 Тестирование Варианты ответов: 21 см 22 см Решение BC D A Задача 3 Диагональ равнобокой трапеции с основаниями 8 см и 5 см является биссектрисой острого угла трапеции. Найдите периметр трапеции. Задача 1Задача 2Задача 3Задача 4

Решение Урок 5 Тестирование Задача 4 Диагональ AC делит прямоугольную трапеции ABCD на два треугольника – прямоугольный и равносторонний. Найдите среднюю линию трапеции, если ее большее основание равно 12 см. BC AD При решении использовать теорему «О свойстве средней линии трапеции». Варианты ответов: 6 см 9 см 12 см 1. ACD – равносторонний, значит AD = AC = CD =12см и ACD = CDA = CAD = ABCD – прямоугольная трапеция (по условию), => BAD = BAC = BAD CAD = = BC = ½ AC = 6 см (т.к. сторона, противолежащая углу 30, равна ½ гипотенузы). 5. MN = ½ (AD + BC) = ½ (12 см + 6 см) = 9 см (по свойству средней линии трапеции). Ответ: 9 см. MN Задача 1Задача 2Задача 3Задача 4

Урок 5 Тестирование Задача 4 Диагональ AC делит прямоугольную трапеции ABCD на два треугольника – прямоугольный и равносторонний. Найдите среднюю линию трапеции, если ее большеe основание равно 12 см. BC AD При решении использовать теорему «О свойстве средней линии трапеции». Варианты ответов: 9 см 12 см Решение Не верно MN Задача 1Задача 2Задача 3Задача 4

Урок 5 Тестирование Задача 4 Диагональ AC делит прямоугольную трапеции ABCD на два треугольника – прямоугольный и равносторонний. Найдите среднюю линию трапеции, если ее большеe основание равно 12 см. BC AD При решении использовать теорему «О свойстве средней линии трапеции». Варианты ответов: 6 см 12 см Решение Верно MN Задача 1Задача 2Задача 3Задача 4

Урок 5 Тестирование Задача 4 Диагональ AC делит прямоугольную трапеции ABCD на два треугольника – прямоугольный и равносторонний. Найдите среднюю линию трапеции, если ее большеe основание равно 12 см. BC AD При решении использовать теорему «О свойстве средней линии трапеции». Варианты ответов: 6 см 9 см Решение Не верно MN Задача 1Задача 2Задача 3Задача 4