Аглиуллина Дания Садыровна Учитель математики 1 кв. Категории Школа 10 с углубленным изучением отдельных предметов Город Нижнекамск,РТ

Знание основных и дополнительных тригонометрических формул. Знание формул обратных тригонометрических функций Сложные вычисления, требующие много времени Для преобразований и нахождения значений многих Тригонометрических выражений необходимы:

1) Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. или: Успешное применение данного способа, для которого достаточно знать теорему Пифагора и определения тригонометрических функций. с b a

2) Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к гипотенузе; 3) Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к гипотенузе; 4) Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему; 5) Котангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к противолежащему; с b a

1) Найдите значения других трёх тригонометрических основных функций: Дано sin -0,8 ; 2 3 ; Найтиcos,tg,ctg ; Решение Для сравнения вначале рассмотрим решение с использованием основных тригонометрических формул: Т.к. 2 3, то - угол четверти ; значитcos 0 ;tg 0 ;ctg 0 ; 1 + ctg 2 = 2 sin 1 ; ctg = 1 sin 1 2 ; ctg = ,0 1 ; т.к.ctg 0, тоctg 4 3 ; tg = ctg 1 ; tg = 1: 4 3 = 3 4 ; 1cossin 22 ; cos = 2 sin1 ; cos = ,01 ; т.к.cos 0,то cos ;

Применение теоремы Пифагора при нахождении значений Тригонометрических выражений 1) Найдите значения других трёх тригонометрических основных функций: Дано sin -0,8 ; 2 3 ; Найтиcos, tg, ctg ; Решение Т.к. 2 3, то - угол четверти ; значитcos 0 ;tg 0 ;ctg 0 ; cos 5 3,т.к.cos 0,то cos ; tg 3 4,т.к.tg 0,то tg 3 4 ; ctg 4 3,т.к. ctg 0,то ctg 4 3 ;

2) ctg -1,5; Найти sin( ) Решение sin( )=(sin *cos 4 3 +cos *sin 4 3 )=( 2 cos2 - 2 sin2 )= *(cos - sin ); т.к ,то - угол четверти, значитsin 0,cos 0 видно, чтоcos 13 3 ;sin ; тогда *(cos - sin )=*( )=5;

3) Дано tgx -0,75;x- угол четверти Найти y sinx+ 2 cosx -6ctgx Решение Т.к. х- угол четверти, тоsinx 0;cosx 0;ctgx 0; sinx 5 3 ; cosx 5 4 ; ctgx 3 4,то y * 3 4 8,2 ; 3 5 4

4) Дано sinx 0,6;x- угол четверти, причёмx 4 Найти 3,5tg2x ; Решение Т.к. х- угол четверти, то cosx 0; cosx 0,8; тогда sin2x 2sinx*cosx 2*0,6*0,8 0,96 т.к.x 4, то 2х 2, следовательно,tg2x 0; видно, что 3,5tg2x 3,5* ;

5) Дано ; Найти: sinx, cos2x, tg4x ; Решение: 1) sinx = ; sinx = Т.к. х- угол четверти, то sinx= ; 2) cos2x= ; 3) sin4x= 2sin2x*cos2x; Т.к. то sin2x>0; sin2x= 4) sin4x= 2* * = - ; 5) tg4x= = ;

6)Найти у 24 3 tg(arcsin0,5) Решение Пустьarcsin0,5 х sinx 0,5 ; видно, чтоtg(arcsin0,5) 3 1 т.е.у 24 3 * ; По определению: arcsina=x sinx=a

7)Найти значение выражения: 15*, если Решение Т.к. то выражение примет вид: 5 3 4

Применение в геометрии.Площадь ABC= 1,5; НайдитеAC, если сторонаAB равна 2 см и она больше половины стороныAC, а медианаBM равна 1,25: Дано ABC = 1,5 AB=2 см ; BM- медиана ABC = 1,5AB=2 см ;BM- медиана BM= 1,25 ; AB AM Найти AC Решение 1)т.к. медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника, то S( ABМ) = 0,75; S( ABM) = 2 1 sin B*AB*BM; sin B= BMAB ABMS )(2 ;sin B= 25,1 75,0 = 4 3 : 4 5 = 5 3 ; B A C M 2 1,25

2) т.к.AB AM;AB BM, тоAB- большая сторона, следовательно, и M является наибольшим в ABM, значит B- острый угол соs B 0 ; видно, чтоcos B= 5 4 ; 3) По теореме косинуса AM 2 =AB 2 +BM 2 – 2AB*BM*cos B ; AM = 45625,14 =1,25 (см) ; 4) AC= 2AM,то AС=2,5см ; Ответ:AС=2,5см ; M 2 1,25 A B С

. Дан параллелограммABCD. ВысотаBH пересекает диагональAC в точке K. Найдите длину отрезкаBK, еслиAB=50,BC=40 иAC=10 73 Дано ABCD-параллелограмм BH-высота BH AC=K AB=50 BC= 40 AC=10 73 Найти BK D A C B H 50 40

Решение 1) По теореме косинусаAB 2 =BC 2 +AC 2 – 2 *BC*cos C cos C = 73 8 ; 2) ( BKC): B=90 ; BC=40; cos C = 73 8 ; tg C= BC BK ; BK= BC*tg C ; видно, чтоtg C= 8 3 ;BK= 40* 8 3 =15 см ; Ответ :BK=15 см; B A H C