Выведем формулу радиуса вписанной и радиуса описанной окружности правильного многоугольника. Пусть r – радиус вписанной окружности, R – радиус описанной окружности, п – количество сторон и углов многоугольника. Рассмотрим правильный п-угольник. А С В О. α/2 Построим точку О – центр вписанной и описанной окружности. ОС – высота АОВ. Рассмотрим АОС: Пусть а – сторона п-угольника, С = 90º - (по построению), α – угол. ОАС = α/2 - (ОА – биссектриса угла п- угольника), АС = а/2 – (ОС – медиана к основанию равнобедренного треугольника), пусть АОС = β. тогда β = 0,5 АОВ АОВ = 360º : п, = 0,5 (360º : п)= 180º : п. R = ОВ= СВ sinβ = а 2sin (180º : п) r = ОС= СВ tgβ а 2tg (180º : п) = а а/2а/2 β

R = R = а 2sin (180º : п) r = а 2tg (180º : п) У правильного треугольника п = 3,тогда 180º : п= 180º : 3= 60º, откуда 2sin60º =2 3 2 =3, R3 = R3 = r3 =r3 = значит а 3 2tg60º =2 3 а 2323 значит У правильного четырехугольника п = 4,тогда 180º : п= 180º : 4= 45º, откуда 2sin45º = , r4 =r4 = значит а 2 2tg45º =2 1 = 2, а 2 значит = R4 R4 = У правильного шестиугольника п = 6,тогда 180º : п= 180º : 6= 30º, откуда 2sin30º = =1, R6 = а R6 = азначит r4 =r4 = 2tg30º =2 значит 3 1 а : 2 3 = а3 2

ф и г у р а R,R, r треугольникквадратшестиугольник R r а 3 а 2323 а 2 а 2 а а3 2

Используя формулы радиусов вписанных и описанных окружностей некоторых правильных многоугольников, вывести формулы для нахождения зависимости сторон правильных многоугольников от радиусов вписанных и описанных окружностей и заполнить таблицу: апап а3а3 а4а4 а6а6 Через R Через r 2R sin(180º : п) 2r tg (180º : п) R3R3R2R 2r32r32r 3