Отрезки, соединяющие не соседние вершины многоугольника, называются диагоналями многоугольника. А4А4 А2А2 А5А5 А1А1 А3А3 Рассмотрим простую ломаную А 1 А 2 А 3 А 4 А 5 А 6. Её концы совпадают. Это замкнутая ломаная линия. Простая замкнутая ломаная линия называется многоугольником. Вершины ломаной называются вершинами многоугольника. Звенья ломаной линии – стороны многоугольника. А1А3,А1А3,А1А4,А1А4,А 2 А 6, … А6А6 - диагонали многоугольника. Плоским многоугольником (многоугольной областью) называется часть плоскости, ограниченная многоугольником. плоский многоугольник многоугольник

А1А1 А2А2 А3А3 АпАп А п-1 У п-угольника А 1 А 2 А 3 … А п-1 А п А 1 А 2 = А 2 А 3 = … = А п-1 А п, А 1 = А 2 = А 3 = … = А п, тогда А 1 А 2 А 3 … А п-1 А п – правильный п-угольник. Выпуклый многоугольник, у которого все стороны и углы равны, называется правильным. А1А1 А2А2 АпАп Вершины п-угольника А 1 А 2 …А п принадлежат окружности. П -угольник А 1 А 2 …А п вписанный в окружность. Многоугольник называется вписанным в окружность если все его вершины лежат на некоторой окружности. Стороны п-угольника А 1 А 2 …А п касаются окружности. П -угольник А 1 А 2 …А п описанный около окружности. Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности. А1А1 А2А2 АпАп

Правильный выпуклый многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности. Дано: АВСД… – правильный п-угольник. АВСД… – вписанный; АВСД… – описанный Доказательство. Доказать: А С В Д Проведем биссектрисы углов А и В. О – точка их пересечения. О. Пусть угол многоугольника – α, тогда ОАВ = ОВА = α/2,значит АОВ – равнобедренный,т. е. АО = ВО. Проведем отрезок ОС.Рассмотрим треугольники АОВ и СОВ: АВ = СВ (стороны многоугольника) ; ОВА = ОВС ( = α/2); ОВ - общая, значит АОВ = СОВ, следовательно СОВ – равнобедренный с углом при основании α/2. Аналогично ДОС – равнобедренный с углом при основании α/2и т. д, следовательно АО = ВО = СО = ДО = …- радиусы описанной окружности. Высоты равных треугольников равны, Н1Н1 Н2Н2 Н3Н3 т. е. ОН 1 = ОН 2 = ОН 3 = …- радиусы вписанной окружности, О – общий центр вписанной и описанной окружности. α/2

Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров, проведенных к его сторонам. R О Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника – отрезок, соединяющий центр окружности с вершиной многоугольника.

Центр окружности, вписанной в правильный многоугольник, лежит на пересечении биссектрис его углов. RО Радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник – перпендикуляр, из центра окружности к стороне многоугольника. Центр вписанной и описанной окружности называют центром многоугольника.

Угол, под которым видна сторона правильного многоугольника из его центра, называется центральным углом многоугольника. α/2 О А В АОВ – центральный угол многоугольника.