Проект по геометрии из раздела: «Четырехугольники» Работу выполнила: Ученица 8-а класса Рыскова Екатерина Учитель – Гончаров О. Н. МОУ «Верхопенская средняя общеобразовательная школа имени М. Р. Абросимова» Параллелограмм

Виды четырехугольников Четырехугольник: Произвольный Трапеция Параллелограмм произвольный прямоугольник или ромб квадрат параллелограмм трапеция прямоугольникромб квадрат

Параллелограмм Определение. Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.

Признак параллелограмма Теорема. Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Признак параллелограмма Доказательство. Пусть АВСВ – данный четырёхугольник и О – точка пересечения его диагоналей. Треугольники АОD и СОВ равны. У них углы при вершине О равны как вертикальные, а ОD = ОВ и ОА = ОС по условию теоремы. Значит, углы ОВС и ОDА равны, а они являются внутренними накрест лежащими для прямых АD и ВС и секущей ВD. По признаку параллельности прямых прямые АD и ВС параллельны. Так же доказывается параллельность прямых АВ и СD с помощью равенства треугольников АОВ и СОD. Так как противолежащие стороны четырёхугольника параллельны, то по определению этот четырехугольник - параллелограмм. Теорема доказана.

Свойства диагоналей параллелограмма Теорема. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Свойства диагоналей параллелограмма Доказательство. Пусть АВСD – данный параллелограмм. Проведём его диагональ ВD. Отметим на ней середину О и на продолжении отрезка АО Отложим отрезок ОС 1 равный АО. По теореме параллельности четырёхугольника четырехугольник АВС 1 D есть параллелограмм. Следовательно, прямая ВС 1 параллельна АD. Но через точку В можно провести только одну прямую, параллельную АD. Значит, прямая ВС 1 совпадает с прямой ВС. Аналогично доказывается, что прямая DС 1 совпадает с прямой DС. Значит, точка С 1 совпадает с точкой С. Параллелограмм АВСD совпадает с параллелограммом АВС 1 D. Поэтому его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Теорема доказана.

Свойство отрезков прямой, проходящей через точку пересечения диагоналей параллелограмма Теорема. Отрезок прямой, проходящий через точку пересечения диагоналей параллелограмма, заключенный между параллельными сторонами, делится этой точкой пополам.

Свойство отрезков прямой, проходящей через точку пересечения диагоналей параллелограмма Доказательство. Пусть АВСD – данный параллелограмм и EF – прямая, пересекающая параллельные стороны АD и ВС. Треугольники ВОЕ и FОD равны по второму признаку. У них ВО и ОD равны, так как О – середина диагонали АС. Углы при вершине И равны как вертикальные, а углы ВОЕ и FОD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных АD, ВС и секущей ВD. Из равенства треугольников следует равенство сторон ОЕ и ОF. Теореме доказана.

Свойство противолежащих сторон и углов параллелограмма Теорема. У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.

Свойство противолежащих сторон и углов параллелограмма Доказательство Пусть АВСD – данный параллелограмм. Проведём диагонали параллелограмма. Пусть О – точка их пересечения. Равенство противолежащих сторон АВ и СD следует из равенства треугольников АОВ и СОD. У них углы при вершине О равны как вертикальные, а ОА = ОС и ОВ = ОD по свойству диагоналей параллелограмма. Точно так же из равенства треугольников АОD и СОВ следует равенство другой пары противолежащих сторон - АD и ВС. Теорема доказана.

Свойство противолежащих сторон и углов параллелограмма Теорема. У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.

Свойство противолежащих сторон и углов параллелограмма Доказательство Пусть АВСD – данный параллелограмм. Проведём диагонали параллелограмма. Пусть О – точка их пересечения. Равенство противолежащих углов АВС и СDА следует из равенства треугольников АВС и СDА (по трём сторонам). У них АВ = СD и ВС = DА по доказанному, а сторона АС общая. Точно так же равенство противолежащих углов ВСD и DАВ. Теорема доказана.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ