1.1. Пропорциональные отрезки Определение подобных треугольников 1.2. Определение подобных треугольников 1.3. Отношение площадей подобных треугольников Отношение площадей подобных треугольников Свойства подобия.

1.1 Пропорциональные отрезки. Отношением отрезков AB и CD называется отношение их длин, т. е. Говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A 1 B 1 и C 1 D 1, если ПРИМЕР 1. Отрезки AB и CD, длины которых равны 2 см и 1см, пропорциональны отрезкам A 1 B 1 и C 1 D 1,отрезки которых равны 3см и 1,5см. В самом деле,

1.2. Определение подобных треугольников. В повседневной жизни встречаются предметы одинаковой формы, но разных размеров, например футбольный и теннисный мячи, круглая тарелка и большое круглое блюдо. В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными. Так, подобными являются любые два квадрата, любые два круга. Введем понятие подобных треугольников.

1.2. Определение подобных треугольников. ПОДОБИЕ, геометрическое понятие, характеризующее наличие одинаковой формы у геометрических фигур, независимо от их размеров. Две фигуры F1 и F2 называются подобными, если между их точками можно установить взаимно однозначное соответствие, при котором отношение расстояний между любыми парами соответствующих точек фигур F1 и F2 равно одной и той же постоянной k, называемой коэффициентом подобия. Углы между соответствующими линиями подобных фигур равны. Подобные фигуры F1 и F2.

1.2. Определение подобных треугольников. Задача1. Пусть у двух треугольников ABC и A 1 B 1 C 1 соответственно равны: A= A 1, B= B 1, C= C 1. В этом случае стороны AB и A 1 B 1, BC и B 1 C 1, CA и C 1 A 1 называются сходными.

1.2. Определение подобных треугольников. А B C А1А1 B 1 C1C1 AB и A 1 B 1, BC и B 1 C 1, CA и C 1 A 1 - сходственные стороны

Определение. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника. Другими словами, два треугольника подобны, если их можно обозначить буквами ABC и A 1 B 1 C 1 так, что A= A 1, B= B 1, C= C 1, Число k, равное отношению сходственных сторон треугольников, называется коэффициентом подобия.

1.2. Определение подобных треугольников. Подобие треугольников ABC и A 1 B 1 C 1 обозначается так : Нажмите сюда и увидите подобные треугольники

1.3. Отношение площадей подобных треугольников. Теорема. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Доказательство. Пусть треугольники ABC и A1B1C1 подобны и коэффициент подобия равен k. Обозначим буквами S и S1 площади этих треугольников. Так как A= A1, то

1.3. Отношение площадей подобных треугольников. По формулам имеем: поэтому Теорема доказана.

Свойства подобия. Задача 2. Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника Решение. Пусть AD – биссектриса треугольника ABC. Докажем, что Треугольники ABD и ACD имеют общую высоту AH, поэтому 12 A H B D C

С другой стороны, эти же треугольники имеют по равному углу( A= A 1 ), поэтому Из двух равенств для отношений площадей получаем, или Что и требовалось доказать.

Теорема: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны. А= А 1 В= В 1 АВС А 1 В 1 С 1

Доказательство: По теореме о сумме углов: С = А - В, а С 1 = А 1 - В 1,значит С= С 1. Так как А= А 1 и С= С 1, то и От этого следует: Получается, что сходственные стороны пропорциональны. Дано: АВС и А 1 В 1 С 1 А= А 1 В= В 1 Доказать: АВС А 1 В 1 С 1 А С В А1А1 В1В1 С1С1

Теорема. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. АВС А 1 В 1 С 1

АВС 2 А 1 В 1 С 1 (по первому признаку),значит, с другой стороны,из этих равенств получается АС= =АС 2. АВС= АВС 2 -по двум сторонам и углу между ними (АВ-общая сторона, АС=АС 2 и,т.к. и ).Значит и, то АВС А1В1С1 Дано: АВС и А 1 В 1 С 1 Д-ть: Доказательство: Рассмотрим АВС 2, у которого и

Теорема: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобные. АВС А1В1С1

Доказательство: Рассмотрим АВС 2, у которого и. Дано: АВС и А 1 В 1 С 1 Д-ть:АВС А 1 В 1 С 1 АВС 2 А 1 В 1 С 1 (по первому признаку),значит и АВС= АВС 2 значит, а так как, то Значит АВС А 1 В 1 С 1

Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Теорема: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Дано: АВС МN – средняя линия Доказать: МN //АС и MN=1/2AC Доказательство: ВМN и ВАС – подобны, так как 1)В – общий 2)BM:ВА=ВN:BC=1:2 Значит ВMN = BAC и MN/АС = 1/2 То MN//АС и MN = ½ Теорема доказана.

Меридианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую меридиану в отношении 2:1, считая от вершины. Дано: АВС т.О – пересечение медиан ВВ 1 и АА1 Доказать:

Доказательство: А 1 В 1 – средняя линия, и А 1 В 1 //АВ, поэтому и Значит АОВ А 1 ОВ 1 (по двум углам),то Но АВ=А 1 В 1, поэтому АО=2А 1 О и ВО=2В 1 О. Значит точка О- пересечение медиан АА 1 и ВВ 1 делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Аналогично доказывается, что точка О – пересечение медиан ВВ 1 и СС 1 делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Значит точка О – пересечения медиан АА 1, ВВ 1 и СС 1 делит их в отношении 2:1, считая от вершины.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных треугольника, каждый из которых подобен данному. Н В С А Дано: АВС – прямоугольный СН – высота Доказать: АВС АСН АВС СВН АСН СВН

Доказательство: АВС АСН(по двум углам: А- как общий и прямым), АВС ВСН(по двум углам: В- общий и прямыми), Рассмотрим АСН и ВСН – прямоугольные 1) угол АНС = углу СНВ – прямые углы 2) угол А = углу ВСН Значит АСН ВСН.

Отрезок ХY называется средним пропорциональным (или средним геометрическим) между отрезками АВ и СД, если

Дано: АВС – прямоугольный СН – высота Доказать: Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. С Н А В Доказательство: АНС СВН, поэтому Следовательно СН 2 =АН * НВ Значит

Дано: АВС – прямоугольный СН – высота Доказать: Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла. С В Н Доказательство: АВС АСН(по двум углам), поэтому Значит А

Синус острого угла прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. А СВ

А ВС Косинус острого угла прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

А ВС Тангенс острого угла прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

А ВС Тангенс острого угла прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего катета к противолежащему катету.

А ВС

А ВС АВС – прям. АВС – прям. Т.к. в с а

А ВС АВС – прям. АВС – прям. в с а а=1 с=2 По теореме Пифагора :

А ВС в с а

А ВС в с а а sin a cos a tg a1 ctg a1