Уже пифагорейцам было известно, что имеется только три вида правильных многоугольников, которыми можно полностью замостить плоскость без пробелов и перекрытий : треугольник квадрат шестиугольник

Одно из простейших замощений :

Если паркет составлен из n- угольников, то в каждой вершине паркета будет сходиться k = 360°/ a n многоугольников, где a n угол правильного n- угольника. Легко найти, что a 3 = 60°, a 4 = 90°, a 5 = 108°, a 6 = 120° и 120° 7. Поэтому 360° делится нацело на a n только при n=3; 4; 6.

Можно потребовать, чтобы паркет был правильным только « по вершинам », но разрешить использовать разные виды правильных многоугольников. Тогда к трём исходным паркетам добавятся ещё восемь.

Периодические замощения - замощения, в которых можно выделить ( и даже многими способами ) составленную из нескольких плиток область, из которой параллельными сдвигами получается весь паркет. Периоди- ческое Неперио- дическое

Классическая м озаика Р оджера П енроуза Математическая проблема непериодического замощения плоскости существует уже около полувека. Самое известное её решение- мозаика Роджера Пенроуза, появившаяся в семидесятых годах XX века (1973год).

Работа Роджера Пенроуза и Мартина Гарднера.

Именно плитки Пенроуза были взяты на вооружение кристаллографами для объяснения феномена квазикристаллов. При этом роль ромбов Пенроуза в пространстве трех измерений начали играть икосаэдры, с помощью которых и осуществляется плотное заполнение трехмерного пространства.

Мозаика Пенроуза обладает свойствами : отношение числа тонких ромбов к числу толстых оказывается всегда равно так называемому " золотому " числу 1,618 она не переходит в себя ни при каких сдвигах, т. е. не периодична обладает вращательной симметрией пятого порядка. Угол поворота кратен 360° / 5 = 72

Для сборки гирихов применяли плитки пяти видов ( десяти - и пятиугольные ромбы и " бабочки "), которые в мозаике составлялись, прилегая друг к другу без свободного пространства между ними. Мозаики созданные из них, могли обладать как сразу вращательной и трансляционной симметрией, так и только вращательной симметрией пятого порядка ( то есть являлись мозаиками Пенроуза ).