Экстремумы функций. «Применение производной к исследованию функций»

Цели урока: Образовательная: - систематизировать знания и создать разноуровневые условия контроля (самоконтроля, взаимоконтроля) усвоения знаний и умений Развивающая: - способствовать формированию умений применять полученные знания в новой ситуации, развивать математическое мышление, речь Воспитательная: - содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности, умения общаться

Памятка. Метод интервалов. Основные положения: 1. Знак произведения (частного) однозначно определяется знаками сомножителей (делимого и делителя). 2. Знак произведения не изменяется (изменится на противоположный), если изменить знак у четного (нечетного) числа сомножителей. 3. Знак линейной функции с ненулевым угловым коэффициентом и знак квадратичной функции справа от большего (или единственного) корня совпадают со знаком их старшего коэффициента. 4. Если строго возрастающая (убывающая) функция имеет корень, то справа от корня она положительна (отрицательна) и при переходе через корень меняет знак. Замечания: 1. В случае отсутствия корней знак квадратичной функции совпадает со знаком ее старшего коэффициента на всей области определения этой функции. 2. Положение 3 и замечание 1 справедливы для многочлена любой степени.

Проверка домашнего задания. Найти производную функции: а) 3х -2х+5; б) х²*Sin x. 2. Найти значения х, в которых значение функции равно 0, если: а) f(x)=5x²+3x; б) f(x)=х*е²; в) f(x)=2х³-4х². 3. Решить неравенство: а) 15х+10; б) х(х-3)0.

Работа с графиком. Работа с графиком. Рассмотрим рисунок, на котором изображен график функции y=x³-3x². Рассмотрим окрестность точки х=0, т.е.некоторый интервал, содержащий эту точку. Из рисунка видно, что такая окрестность существует и наибольшее значение функция принимает в точке х=0. Эту точку называют точкой максимума. Аналогично точку х=2 называют точкой минимума, так как функция в этой точке принимает значение меньшее, чем в любой точке окрестности х=2. Рассмотрим рисунок, на котором изображен график функции y=x³-3x². Рассмотрим окрестность точки х=0, т.е.некоторый интервал, содержащий эту точку. Из рисунка видно, что такая окрестность существует и наибольшее значение функция принимает в точке х=0. Эту точку называют точкой максимума. Аналогично точку х=2 называют точкой минимума, так как функция в этой точке принимает значение меньшее, чем в любой точке окрестности х=2.

Нужно запомнить: Точка х 0 называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки х 0, что для всех х отличных от х 0 из этой окрестности выполняется неравенство Точка х 0 называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки х 0, что для всех х отличных от х 0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x)f(х 0 ). (рисунок 2) Точки максимума и точки минимума называются точками экстремума. Точки максимума и точки минимума называются точками экстремума.

Немного из истории математики: Пьер Ферма. (1601 – 1665) Работа советника в городском парламенте Тулузы не мешала Ферма заниматься математикой. Постепенно он приобрел славу одного из первых математиков Франции. Он соперничал с французским ученым Р. Декартом в создании аналитической геометрии, общих методов решения задач на максимум и минимум. Его приемы построения касательных к кривым, вычисления площадей криволинейных фигур, вычисления длин криволинейных прокладывали дорогу к созданию дифференциального и интегрального исчислений. С работ Ферма началась новая математическая наука - теория чисел.

Теорема Ферма. Если х 0 – точка экстремума дифференцируемой функции f(x), то f (х)=0. Если х 0 – точка экстремума дифференцируемой функции f(x), то f (х)=0. Теорема Ферма имеет наглядный геометрический смысл: касательная к графику функции у =f(x) в точке (х 0 ; f(х 0 )), где х 0 – точка экстремума функции у =f(x), параллельна оси абсцисс, и поэтому ее угловой коэффициент f (х) равен нулю. Теорема Ферма имеет наглядный геометрический смысл: касательная к графику функции у =f(x) в точке (х 0 ; f(х 0 )), где х 0 – точка экстремума функции у =f(x), параллельна оси абсцисс, и поэтому ее угловой коэффициент f (х) равен нулю.

Стационарные и критические точки Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными, т.е. если f (х)=0, то этого недостаточно, чтобы утверждать, что х - точка экстремума. Точки, в которых функция имеет производную, равную нулю, или недифференцируема, называются критическими точками этой функции. Рассмотрим функцию f(x)=x³. Ее производная f (х)=3х², f (х)=0. Однако х=0 не является точкой экстремума, так как функция возрастает на всей числовой оси (рисунок 1). Сформулируйте достаточное условие того, что стационарная точка является точкой экстремума.

Теорема: Пусть функция f(x) дифференцируема на интервале (а; b), х 0 є (а; b), и f ( x)=0. Тогда: 1) если при переходе через стационарную точку х 0 функции f(x) ее производная меняет знак с «плюса» на «минус», т.е. f (x)>0 слева от точки х 0 и f (x) 0 слева от точки х 0 и f (x)

План нахождения экстремум функции. 1. Найти производную функции. 2. Найти стационарные точки функции, т.е. производную приравнять к нулю. 3. Используя метод интервалов выяснить, как меняются знаки производной. 4. По знакам перехода функции определить точки минимума или максимума.

Рассмотрим задание 1: Найти точки экстремума функции f(x)=9х-3. Решение: 1) Найдем производную функции: f ´ (x)=9 2) Найдем стационарные точки: Стационарных точек нет. 3) Данная функция линейная и возрастает на всей числовой оси, поэтому точек экстремума функция не имеет. Ответ: функция f(x)=9х-3 не имеет точек экстремума.

Рассмотрим задание 2: Найти точки экстремума функции f(x)=х ² -2x. Решение: 1) Найдем производную функции: f ´ (x)=2х-2 2) Найдем стационарные точки: 2х-2=0Х=1. 3) Используя метод интервалов, найдем, как меняется знак производной (см. рисунок): 4) При переходе через точку х=1 знак производной меняется со знака с «-» на «+», поэтому х=1 – является точкой минимума. Ответ: точка х=1 является точкой минимума функции f(x)= х ² -2x.

Рассмотрим задание 3: Найти точки экстремума функции f(x)=х -4x³. Решение: 1) Найдем производную функции: f ´ (x)=4x³-12x² 2) Найдем стационарные точки: 4x³-12x²=0 Х1=0, х2=3. 3) Используя метод интервалов, найдем, как меняется знак производной (см. рисунок): 4) При переходе через точку х=0 знак производной не меняется, то эта точка не является точкой экстремума, а при переходе через точку х 1 =3 производная меняет знак с «-» на «+», поэтому х 2 =3 – является точкой минимума. Ответ: точка х=3 является точкой минимума функции f(x)= х -4x³.

Самостоятельно выполнить следующие задания: 1) По данному рисунку определить точки максимума и минимума функции у=f(x). 2) Найти стационарные точки: а) у=е ² -2е ; б) у=2х³-15х ² +36х; в) у=sinx-cosx; г) у=(2+х ² )/х. 3) Найти экстремумы функции: а) f(x)=x³-x; б) f(x)=х -8х²+3; в) f(x)=х+sinx; г) f(x)=x-cos2x.

Физкультминутка. Для учащихся предлагается выполнить несколько физических упражнений, чтобы снять усталость и напряжение за длительную работу на компьютере. 1. Сидя на стуле: - руки за голову; - локти развести пошире, голову наклонить назад; - локти вперед, голову вперед; - руки расслабленно вниз; - упражнение повторить 4 – 5 раз. 2. Сидя на стуле: - голову плавно отвести назад; - наклонить плавно голову вперед; - упражнение повторить 4 – 5 раз. 3. Упражнение для глаз: - быстро поморгать; - закрыть глаза и посидеть спокойно; - медленно сосчитать до пяти; - упражнение повторить 4 – 5 раз. 4. Упражнение для глаз: - крепко зажмурить глаза; - медленно сосчитать до пяти; - открыть глаза и посмотреть вдаль; - упражнение повторить 4 – 5 раз. 5. Упражнение для глаз: - посмотреть на указательный палец вытянутой руки; - посмотреть вдаль; - упражнение повторить 4 – 5 раз.

Тестирование: Для выполнения теста необходимо открыть файл, который находится в папке «Экстремумы функции» на диске С: под названием «Тест 1». В результате выполнения работы вы получаете оценку за свои знания. Также для систематизации знании вы можете выполнить следующие тесты на повторение изученного ранее материала ( «Тест 2», «Тест 3», «Тест 4», «Тест 5»). Для выполнения теста необходимо открыть файл, который находится в папке «Экстремумы функции» на диске С: под названием «Тест 1». В результате выполнения работы вы получаете оценку за свои знания. Также для систематизации знании вы можете выполнить следующие тесты на повторение изученного ранее материала ( «Тест 2», «Тест 3», «Тест 4», «Тест 5»).

Домашнее задание: 1. Найти экстремумы функции: а) у=х³-4х ² ; б) у=3х -4х³; 2. Найти стационарные точки: а) у=х-4х³-8х ²+1; б) у=cos2x+2cosx.