Тригонометрические формулы и приемы их запоминания

Цель урока: познакомить учащихся с мнемоническими правилами для запоминания формул приведения и значений тригонометрических функций некоторых углов; способствовать развитию логического мышления и устной математической речи при поиске решения поставленной проблемы; воспитывать внимательность, наблюдательность и самостоятельность

Входное тестирование: 1. Укажите значение выражения sin 60º A) ; B) ; С) 1; D) 0. Ответ: В

Входное тестирование: 2. Упростите выражение cos A) cos α ; B) cos ; C) sin α ; D) tg α. Ответ: С

Входное тестирование: 3. Найдите значение выражения сos 157º cos 97º + sin 157º sin 97º A) ; B) 0; C) 1; D). Ответ: А

Входное тестирование: 4. Упростите выражение 2 sin 65º cos 65º A) cos130º; B) cos50º; C) sin 50º ; D) tg 65º. Ответ: С

Входное тестирование: 5. Представьте в виде произведения cos 80º - cos 40º А) - sin 20º ; B) cos 20º; C) - sin 20º ; D) - cos20º. Ответ: С

Притча о трех дамах: α 30º 45º 60º sin 123 cos Пошли три дамы гулять. Первая дама, вторая дама и третья дама.

Притча о трех дамах: α 30º 45º 60º sin cos И неожиданно пошел дождь. Все дамы открыли зонтики, и одели по паре калош.

Притча о трех дамах: α 30º 45º 60º sin cos Прогулка была закончена. Первая дама, вторая дама и третья дама пошли домой.

Значения синуса и косинуса для углов в 30º, 45º и 60º α 30º 45º 60º sin cos

Чтобы указать значения тангенса и котангенса тех же углов достаточно вспомнить ОТТ, т.е tg α =, а котангенс взаимно обратная функция для тангенса.

Формулы приведения: Жил рассеянный математик, и каждый раз преобразовывая тригонометрические функции углов вида,,,, он спрашивал у своей лошади, жующей за окном сено, надо менять функцию на «кофункцию» или нет. А лошадь кивала головой по той оси, которой принадлежала точка, или,, соответствующая первому слагаемому аргумента. х у

Формулы приведения: Математику оставалось лишь записывать ответ, указывая знак данной функции. Например, cos = sin α; sin = sin α; сtg = -tg α; tg = tg α. sin α Знаки тригонометрических функций: cos α tg α и сtg α у х у х у х +

Формулы сложения: Формулы сложения – это та, группа формул которую нужно знать наизусть. Но для их запоминания можно тоже воспользоваться ассоциативным приемом. У косинуса функции одноименные: cos ( α ­ β ) = cos α cos β + sin α sin β; cos ( α + β ) = cos α cos β - sin α sin β; а у синуса разноименные: sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β; sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β. Не все в нашей жизни бывает «гладко» за белой полосой идет черная, и наоборот. Так и у наших функций, если функции идут одноименные, то знаки не совпадают, а если разноименные, то совпадают.

Формулы сложения: Для получения формулы тангенса суммы и тангенса разности достаточно применить ОТТ и разделить числитель и знаменатель полученной дроби на cos α cos β, где cos α 0 и cos β 0. tg (α + β) = ; tg (α - β) = Например, сos 97º cos 67º + sin 97º sin 67º = сos (97º- 67º) = = сos 30º =… ; sin 25º сos 20º + cos 25º sin 20º = sin (25º + 20º)= = sin 45º =….

Чтобы получить тригонометрические формулы двойного аргумента достаточно в формулах сложения β заменить на α. Например, cos 2α = cos (α +α)= cos α cos α - sin α sinα = = cos²α - sin²α; sin 2α = sin (α + α) = sin α cos α + sin α cos α = =2sin α cos α tg2α = tg (α + α ) = Поэтому, 2 sin 65º cos 65º = sin (2 65º) = =sin130º = sin (180º - 50º) = sin 50º Формулы двойного угла:

Формулы суммы и разности тригонометрических функций cos (α ­ β)=cos α cos β + sin α sin β; cos (α + β)=cos α cos β - sin α sin β; cos(α­β)+ cos (α + β)= 2 cos α cos β Пусть α ­ β = х, а α + β = у, тогда: α = (х+у) и β = (х-у). Следовательно, cos х + cos у = 2 cos (х+у) cos (х-у).

Если обе части равенства cos(α­β)+ cos (α + β)=2 cos α cos β : 2, получим формулу, позволяющую представлять произведение косинусов двух углов в виде суммы: cos α cos β = (cos (α ­ β) + cos (α + β)). Чем нужно воспользоваться, что бы получить формулу, позволяющую представлять произведение синусов двух углов в виде суммы?

Итоговое тестирование: 1. Укажите значение выражения cos 60º A) ; B) 1; C) ; D) Упростите выражение cos А) cos α ; B) sin α ; C) - cos α ; D) - sin α. 3. Найдите значение выражения sin 57º cos 27º + сos 57º sin 27º A) ; B) 1; C) 0 ; D). 4. Упростите выражение 2 sin 75º cos 75º A) 0; B) 1; C) ; D). 5.Представьте в виде произведения sin 80º + sin 40º A) sin 20º;B) - cos 20º;C) cos20º; D) - sin 20º.

Итоговое тестирование: Ответы: B, C, A, D, C.