Преобразование фигуры F в фигуру F´ называется подобием, если при этом расстояние между любыми двумя точками изменяется в одно и тоже число раз. Рассмотрим фигуры F и F´. F´ F Х У Х´Х´ У´У´ Если для любых точек Х и У фигуры F и их образов Х´ и У´ фигуры F´ выполняется условие ХУ = к Х´У´, то фигура F´ получена из фигуры F преобразованием подобия. к - коэффициент подобия. Если к = 1, то преобразование является движением. Фигуры F и F´ называются подобными.

Построим произвольные точки А и О. А О Проведем луч АО Отложим на нем отрезок ОА´ = 2ОА А´А´ Точка А´ получена из точки А преобразованием гомотетии относительно точки О с коэффициентом гомотетии к = 2. Если каждая точка фигуры F получена из соответствующей точки фигуры F подобным образом, то данное преобразование фигуры F в фигуру F´ называется гомотетией. к - коэффициент гомотетии Фигуры F и F´ называются гомотетичными.

Дано: АВС, О – центр гомотетии, к = 3. Построить: А´В´С´, гомотетичный АВС. Построение. А В С´С´ А´А´ В´В´ С Проведем луч ОА. Отложим на нем отрезок ОА´ = 3 ОА. Проведем луч ОС. Проведем луч ОВ. Отложим на нем отрезок ОС´ = 3 ОС. Отложим на нем отрезок ОВ´ = 3 ОВ. Достроим А´В´С´ - искомый. О

Гомотетия есть преобразование подобия. Пусть О – центр гомотетии, Доказательство. Х и У – произвольные точки фигуры F Х´ и У´ - соответствующие точки фигуры F´. Х Х´, У У´, т. е. существует коэффициент к такой, что выполняются равенства : ОХ´ = к ОХ и ОУ´ = к ОУ. В этом случае верны векторные равенства: ОХ´ = к ОХ и ОУ´ = к ОУ. Вычтем почленно эти равенства: ОХ´ - ОУ´ = к ОХ - кОХ Но ОХ´ - ОУ´ = У´ Х´,а ОХ – ОУ = УХ,тогда У´ Х´ = к УХ, т. е. У´ Х´ = к УХ, следовательно гомотетия есть подобие. Х Х´Х´ У´У´ У О = к(ОХ - ОУ ).