ПРОЕКТ «Софизмы» «Правильно понятая ошибка – это путь к открытию». «Правильно понятая ошибка – это путь к открытию». И.П. Павлов И.П. Павлов Работа ученика 7 «а» класса Варакутина Александра с. Кваркено 2010г.

Вопросы для исследования: Вопросы для исследования: Известно ли вам, что такое софизм? Известно ли вам, что такое софизм? Знаете ли вы кто такие «софисты» и кто создал это направление? Знаете ли вы кто такие «софисты» и кто создал это направление? Что нужно делать, чтобы быстро найти ошибку в «теореме»? Что нужно делать, чтобы быстро найти ошибку в «теореме»? Какие софизмы достались нам от потомков? Какие софизмы достались нам от потомков? Цель работы: узнать о софизмах и людях, занимавшихся софистикой; научиться разгадывать софизмы; научиться самому представлять софизмы так, чтобы они выглядели правильно Цель работы: узнать о софизмах и людях, занимавшихся софистикой; научиться разгадывать софизмы; научиться самому представлять софизмы так, чтобы они выглядели правильно

Значение софизмов Софизмы влияли на развитие многих наук, в том числе и на математику

Происхождение названия Софизм – (от греческого sophisma, «мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка») Софизм – (от греческого sophisma, «мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка»)

Софистика Софизмы появились еще в Древней Греции. Софизмы появились еще в Древней Греции. Одна из основных задач софистов заключалась в том, чтобы научить человека доказывать (подтверждать или опровергать) все, что угодно, выходить победителем из любого интеллектуального состязания. Одна из основных задач софистов заключалась в том, чтобы научить человека доказывать (подтверждать или опровергать) все, что угодно, выходить победителем из любого интеллектуального состязания.

Софисты СОФИСТЫ (софист, от греч. sophistes умелец, изобретатель, мудрец, лжемудрец)– представители интеллектуального течения в общественной и культурной жизни Древней Греции СОФИСТЫ (софист, от греч. sophistes умелец, изобретатель, мудрец, лжемудрец)– представители интеллектуального течения в общественной и культурной жизни Древней Греции Старшие софисты: Протагор, Горгий, Гиппий, Продик, Антифонт, Критий. Старшие софисты: Протагор, Горгий, Гиппий, Продик, Антифонт, Критий. Младшие софисты: Ликофрон, Алкидамант, Фрасимах. Младшие софисты: Ликофрон, Алкидамант, Фрасимах.

Политические убеждения В социально-политических областях софисты были сторонниками демократии и высказывали идеи равенства всех людей. В социально-политических областях софисты были сторонниками демократии и высказывали идеи равенства всех людей.

Религиозные убеждения Софисты неизбежно впадали в противоречие с традиционными религиозными верованиями. Софисты неизбежно впадали в противоречие с традиционными религиозными верованиями.

Алгебраические софизмы Алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях. Алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

«Все числа равны» Возьмём два разных числа, такие что: a + c = b Умножим обе части на (a b), имеем: (a + c)(a b) = b(a b) Раскрываем скобки, имеем: a2 + ca ab cb = ba b2 переносим вправо, имеем: a2 + ca ab = ba b2 + cb Возьмём два разных числа, такие что: a + c = b Умножим обе части на (a b), имеем: (a + c)(a b) = b(a b) Раскрываем скобки, имеем: a2 + ca ab cb = ba b2 переносим вправо, имеем: a2 + ca ab = ba b2 + cb a(a + c b) = b(a b + c) a(a + c b) = b(a b + c) a = b Где ошибка? a = b Где ошибка?

Единица равна нулю Возьмем уравнение x-a=0 Разделив обе его части на х-а, получим х-а/х- а=0/х-а Откуда сразу же получаем требуемое равенство 1=0. Возьмем уравнение x-a=0 Разделив обе его части на х-а, получим х-а/х- а=0/х-а Откуда сразу же получаем требуемое равенство 1=0. Где ошибка? Где ошибка?

Всякое число равно своему удвоенному значению Запишем очевидное для любого числа а тождество а2-а2= а2-а2 Вынесем а в левой части за скобку, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов, получив: а(а-а)=(а+а)(а-а) (1)Разделив обе части на а-а, получим а=а+а а=2а Где ошибка? Запишем очевидное для любого числа а тождество а2-а2= а2-а2 Вынесем а в левой части за скобку, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов, получив: а(а-а)=(а+а)(а-а) (1)Разделив обе части на а-а, получим а=а+а а=2а Где ошибка?

Геометрические софизмы Геометрические софизмы – это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними. Их мало, но один из них мы рассмотрим. Геометрические софизмы – это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними. Их мало, но один из них мы рассмотрим.

В се треугольники равнобедренные Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис.). Проведем в нем биссектрису угла В и серединный перпендикуляр к стороне АС. Точку их пересечения обозначим через О. Из точки О опустим перпендикуляр ОD на сторону АВ и перпендикуляр ОЕ на сторону ВС. Очевидно, что ОА=ОС и ОD=ОЕ. Но тогда прямоугольные треугольники АОD и СОЕ равны по катету и гипотенузе. Поэтому уголDАО=уголЕОС. В то же время ОАC=ОСА, так как треугольник АОС -равнобедренный. Получаем: ВАС=DАО+ОАС=ЕОС+ОСА=ВАС Итак, угол ВАС равен углу ВСА, поэтому треугольник АВС- равнобедренный: АВ=ВС. В чем ошибка? Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис.). Проведем в нем биссектрису угла В и серединный перпендикуляр к стороне АС. Точку их пересечения обозначим через О. Из точки О опустим перпендикуляр ОD на сторону АВ и перпендикуляр ОЕ на сторону ВС. Очевидно, что ОА=ОС и ОD=ОЕ. Но тогда прямоугольные треугольники АОD и СОЕ равны по катету и гипотенузе. Поэтому уголDАО=уголЕОС. В то же время ОАC=ОСА, так как треугольник АОС -равнобедренный. Получаем: ВАС=DАО+ОАС=ЕОС+ОСА=ВАС Итак, угол ВАС равен углу ВСА, поэтому треугольник АВС- равнобедренный: АВ=ВС. В чем ошибка?

Арифметические софизмы Арифметические софизмы – это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда. Арифметические софизмы – это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.

9 тенге = тиын. Возьмем верное равенство 3 тенге = 300 тиын и возведем обе его части в квадрат. Получится 9 тенге = тиын. В чем ошибка? Возьмем верное равенство 3 тенге = 300 тиын и возведем обе его части в квадрат. Получится 9 тенге = тиын. В чем ошибка?

Чётное и нечётное «5 есть («два и три»). Два число чётное, три нечётное, выходит, что пять число и чётное и нечётное. «5 есть («два и три»). Два число чётное, три нечётное, выходит, что пять число и чётное и нечётное. В чем ошибка? В чем ошибка?

Логические софизмы Кроме математических софизмов, существует множество других. Понять абсурдность таких утверждений проще, но от этого они не становятся менее интересными. Очень многие софизмы выглядят как лишенная смысла и цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т.д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными. Кроме математических софизмов, существует множество других. Понять абсурдность таких утверждений проще, но от этого они не становятся менее интересными. Очень многие софизмы выглядят как лишенная смысла и цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т.д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными.

Софизм «лгун». Вполне возможно, что лгун сознается в том, что он лгун. В таком случае он скажет правду. Но тот, который говорит правду, не есть лгун. Следовательно, возможно, что лгун не есть лгун. (Какая ошибка?) Вполне возможно, что лгун сознается в том, что он лгун. В таком случае он скажет правду. Но тот, который говорит правду, не есть лгун. Следовательно, возможно, что лгун не есть лгун. (Какая ошибка?)

«Софизм Кратила» Диалектик Гераклит, провозгласив "все течет", пояснял, в одну и ту же реку нельзя войти дважды, когда входящий будет входить в след. раз, на него будет течь уже другая вода. Кратил сделал др. выводы: в одну и ту же реку нельзя войти даже один раз, пока ты входишь, она уже изменится. Диалектик Гераклит, провозгласив "все течет", пояснял, в одну и ту же реку нельзя войти дважды, когда входящий будет входить в след. раз, на него будет течь уже другая вода. Кратил сделал др. выводы: в одну и ту же реку нельзя войти даже один раз, пока ты входишь, она уже изменится.

«Софизм Эватла» Эватл брал уроки софистики у софиста Протагора под тем условием, что гонорар он уплатит только в том случае, если выиграет первый процесс. Ученик после обучения не взял на себя ведения какого-либо процесса и потому считал себя вправе не платить гонорара. Учитель грозил подать жалобу в суд, говоря ему следующее: "Судьи или присудят тебя к уплате гонорара или не присудят. В обоих случаях ты должен будешь уплатить. В первом случае в силу приговора судьи, во втором случае в силу нашего договора". На это Эватл отвечал: "Ни в том, ни в другом случае я не заплачу. Если меня присудят к уплате, то я, проиграв первый процесс, не заплачу в силу нашего договора, если же меня не присудят к уплате гонорара, то я не заплачу в силу приговора суда". (Ошибка становится ясной, если мы раздельно поставим два вопроса: 1) должен ли Эватл платить или нет и 2) выполнены ли условия договора или нет.) Эватл брал уроки софистики у софиста Протагора под тем условием, что гонорар он уплатит только в том случае, если выиграет первый процесс. Ученик после обучения не взял на себя ведения какого-либо процесса и потому считал себя вправе не платить гонорара. Учитель грозил подать жалобу в суд, говоря ему следующее: "Судьи или присудят тебя к уплате гонорара или не присудят. В обоих случаях ты должен будешь уплатить. В первом случае в силу приговора судьи, во втором случае в силу нашего договора". На это Эватл отвечал: "Ни в том, ни в другом случае я не заплачу. Если меня присудят к уплате, то я, проиграв первый процесс, не заплачу в силу нашего договора, если же меня не присудят к уплате гонорара, то я не заплачу в силу приговора суда". (Ошибка становится ясной, если мы раздельно поставим два вопроса: 1) должен ли Эватл платить или нет и 2) выполнены ли условия договора или нет.)

« Спичка вдвое длиннее телеграфного столба» Пусть, а дм- длина спички, b дм - длина столба. Тогда b – a = c. Имеем b - a = c, b = a + c. Перемножаем два эти равенства по частям, находим: b2 - ab = ca + c2. Вычтем из обеих частей bc, Получим: b2- ab - bc = ca + c2 – bc Вынесем общий множитель за скобки: b(b - a - c) = c(a+c-b) b(b-a-c)=-c(b-a-c) Разделим обе части на (b-a-c) Получим: b = - c c = b – a b = a – b a = 2b. Где ошибка? А ошибка в предпоследнем равенстве. А ошибка в предпоследнем равенстве. B(b-a-c)=-c(b-a-c). B-a-c=0, а на ноль B(b-a-c)=-c(b-a-c). B-a-c=0, а на ноль делить нельзя. делить нельзя.

Равнобедренные треугольники Вернемся к софизму про равнобедренные треугольники. Ошибка в чертеже, ведь серединный перпендикуляр пересечется с биссектрисой противоположного угла вне треугольника. Вернемся к софизму про равнобедренные треугольники. Ошибка в чертеже, ведь серединный перпендикуляр пересечется с биссектрисой противоположного угла вне треугольника.

«Один рубль не равен ста копейкам» Известно, что любые два неравенства можно перемножать почленно, не нарушая при этом равенства, т.е. Если a=b, c=d, то ac=bd. Применим это положение к двум очевидным равенствам 1 р.=100 коп, (1) 10р.=10*100коп.(2) перемножая эти равенства почленно, получим 10 р.= коп. и, наконец, разделив последнее равенство на 10 получим, что 1 р.= коп. таким образом, один рубль не равен ста копейкам. В чем ошибка? Известно, что любые два неравенства можно перемножать почленно, не нарушая при этом равенства, т.е. Если a=b, c=d, то ac=bd. Применим это положение к двум очевидным равенствам 1 р.=100 коп, (1) 10р.=10*100коп.(2) перемножая эти равенства почленно, получим 10 р.= коп. и, наконец, разделив последнее равенство на 10 получим, что 1 р.= коп. таким образом, один рубль не равен ста копейкам. В чем ошибка? А ошибка в умножении. Ведь 10*100=1000 а в софизме как раз два «лишних» нуля. А ошибка в умножении. Ведь 10*100=1000 а в софизме как раз два «лишних» нуля.

«Равен ли полный стакан пустому?» «Равен ли полный стакан пустому?» Пусть имеется стакан, наполненный водой до половины. Тогда можно сказать, что стакан, наполовину полный равен стакану, наполовину пустому. Увеличивая обе части равенства вдвое, получим, что стакан полный равен стакану пустому. Пусть имеется стакан, наполненный водой до половины. Тогда можно сказать, что стакан, наполовину полный равен стакану, наполовину пустому. Увеличивая обе части равенства вдвое, получим, что стакан полный равен стакану пустому. А если перевести «полуполный» и «полупустой» в числа? Тогда получится, что и там и там будет 0,5. Но 0,5*2=1 и в первом и во втором. А если перевести «полуполный» и «полупустой» в числа? Тогда получится, что и там и там будет 0,5. Но 0,5*2=1 и в первом и во втором.

Заключение Софизмы есть смесь философии и математики, которая не только помогает развивать логику и искать ошибку в рассуждениях. Буквально вспомнив, кто же такие были софисты, можно понять, что основной задачей было постижение философии. Софизмы есть смесь философии и математики, которая не только помогает развивать логику и искать ошибку в рассуждениях. Буквально вспомнив, кто же такие были софисты, можно понять, что основной задачей было постижение философии.

Список литературы Научное издательство «Большая Российская энциклопедия» / Большая Советская энциклопедия- М.: «Новый диск», ил. Научное издательство «Большая Российская энциклопедия» / Большая Советская энциклопедия- М.: «Новый диск», ил «Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия»- М. «Кирилл и Мефодий», ил. «Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия»- М. «Кирилл и Мефодий», ил.

А.Г.Мадера «Математические софизмы» А.Г.Мадера «Математические софизмы» Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин « Математическая шкатулка» Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин « Математическая шкатулка» Литцман В., Трир Ф. «Где ошибка?»- СПб.,1919 Литцман В., Трир Ф. «Где ошибка?»- СПб.,1919 Лямин А.А., «Математические парадоксы и интересные задачи».-М., 1911 Лямин А.А., «Математические парадоксы и интересные задачи».-М., 1911 Обреимов В.И. «Математические софизмы».- 2-е издание-СПб., 1889 Обреимов В.И. «Математические софизмы».- 2-е издание-СПб., 1889