Для успешной подготовки к cдаче экзамена надо самостоятельно решать задачи Учитель математики МОУ СОШ 1 Тупикова Л.М

Инструкция пользователю 1. К выполнению заданий следует приступать только после того, как вы «прошли» или повторили соответствующий материал по школьному учебнику или задачнику. 2. По этой теме проведено 8 вариантов самостоятельных работ. Они взаимосвязаны между собой. 3. В вариантах 1-4 задачи даны в привычной вам форме: приведено условие, следует получить ответ. В вариантах 5-6 к каждому условию приведен ответ, а вам следует определить верен он или нет. В варианте 7 вам надо будет выбрать верный ответ из двух, а в варианте 8-из четырех предложенных ответов. Тем самым выполнение вариантов 1-8 позволит вам на конкретном материале плавно перейти от школьной системе выполнения заданий к выполнению заданий с выбором ответа, как это принято в ЕГЭ. 4. Время выполнения каждого варианта ограничено. Постарайтесь максимально жестко контролировать себя, то есть реально оценивать свои результаты за отведенное время. При невыполнении этого условия вы просто обманете самого себя. Решения можно записывать кратко, ответ давать в произвольной форме, если не оговорено противное. Не спешите, постарайтесь проверить свои ответы. 5. После выполнения каждого варианта надо проверить свои ответы. Далее следует придерживаться приведенных указаний. 6. Счастливо!

Вариант 1 (15 мин) Решите уравнения (1-4) 1. sin x -1 =0. 2. cos (x+ )=0. 3. tg ( -x) +1= ctg x = cos x + 1=. 4-5 верных ответовПереходите к варианту верных ответаПроверьте себя на похожем варианте верный ответРазберите решения варианта 1, после чего переходите к варианту 3

Разбор заданий. Вариант 1. Такие простые уравнения лучше решать не по общей формуле, с арксинусами или арккосинусами, а на числовой окружности. 1. /2 + 2 n, n Z. На числовой окружности есть единственная точка, у которой ордината (то есть синус) равна 1. Эта самая верхняя точка. Ей соответствуют числа /2 + 2 n, n Z. 2. /2 + n, n Z. По формулам приведения cos (x+ ) = -cos x, то есть уравнение cos (x + ) = 0 можно записать в виде – cos x = 0 или cos x = 0. На числовой окружности есть ровно две точки, у которых абсцисса ( то есть косинус) равна нулю. Эта самая верхняя и самая нижняя точки. 3. /4 + n, n Z. По формулам приведения tg ( -x) = tg (-x). Так как тангенс-функция нечетная, то tg(-x) = -tgx. Поэтому уравнение tg ( -x) + 1 =0 можно записать в виде –tg x +1 =0 или tg x = /4 + n, n Z. Данное уравнение запишем так: ctg x = ø Так как cos x1, то 2cos x 2, а 2cos x Так как3,14…>3, то 2 cos x +1 < при всех х. Значит, уравнение 2cos x +1 = корней не имеет.

Вариант 3 (15 мин) Решите уравнения (16-20). 16. cos x+1= sin ( -x) = tg (x - 3 /4) +1 = ctg (3,5 +x) = sin x – 8 = верных ответовПереходите к варианту верных ответаВерните к задачнику ( , , , )

Вариант 2 (30 мин) 6. Найдите значение выражения arccos 0 – arccos 2/2. 7. Вычислите sin (-arccos (-1)). 8.Решите уравнение 2 cos x +1=0. 9. Найдите значение выражения аrccos 1+ arcsin (-0,5). 10. Вычислите cos (2 /3 + arcsin (-0,5)). 11. Решите уравнение sin x = Найдите значение выражения arccos 1 – arctg (-1). 13. Решите уравнение tg²x + 3 = 2(tg x +1). 14. Найдите значение выражения arcsin (- 3/2)+arcctg Решите уравнение 3ctg² x +1 = 2 ( tg x)ˉ¹ верных ответов Переходите к варианту верных ответов Проверьте себя на похожем варианте верных ответа Вам следует вернуться к учебнику (§4-10) и задачнику (9,14,29,38,55,61,94,100, 111,120, 136,151, 173,206)

Вариант 4 (30 мин) 21. Найдите значение выражения arccos 1·arccos 0, Вычислите sin (0,5arccos (-0,5)). 23. Решите уравнение 6cos x - 27 = Найдите значение выражения arccos 0 arcsin (-1) 25. Вычислите cos (3 /4 – arcsin ( - 2/2)). 26. Решите уравнение 2 +2sin 2x = Найдите значение выражения arccos 0·arctg Решите уравнение tg²x + 1=2 ( 3 tg x – 1). 29. Найдите значение выражения arcctg ( - 3) arctg Решите уравнение 3(ctg²x + 1) = 2( 3 ctg x+1) верных ответовПереходите к варианту верных ответовРазберите решения. Переходите к варианту верных ответаВам лучше начать заново с варианта 1.

Разбор заданий. Вариант Множитель arccos 1 равен нулю. Множитель arccos 0,2005 определён, так как |0,2005| 1. Значит, их произведение равно sin (0,5arccos (-0,5))=sin (1/2·2 /3)= y =sin /3 =3/2. 2/ cos x -27=0, 6 cos x = 33, cos x = 3/2, x = ± /3 + 2 n, n Z. 0 1 x 24. arccos 0 /2 arcsin (-1) - /2 25. cos(3 /4-arcsin(-2/2))=cos(3 /4 -(- /4))=cos =-1. рис sin 2x=0,2sin2x=-2, sin 2x = -2/2, 2x=(-1)arcsin(-2/2) + n. 2x=(-1)(- /4) + n. У 3 Значит, х=(-1) ¹·0,25 + n, n Z.(рис.1) 1 27.arccos 0·arctg0= /2·0= tg²x+1=2(3tgx-1), tg²x-23tg x +3=0, 0 х (tg x - 3)²=0, tg x =3, x=arctg 3 + n, x= /3+ n, n Z (рис. 2) arcctg(-3) 5 /6 arctg 3 / (ctg² x+1) = 2(3 ctg x+1), 3ctg² x-23 ctg x +1=0, рис. 2 (3 ctgx-1)² = 0, ctg x = 1/3 = 3/3, x = arcctg 3/3 + n, x = /3 + n, n Z.

Разбор вариантов 4 и 5 разумно начать с проверки того, как вы знаете табличные значения арксинусов, арктангенсов и арккотангенсов. Заполните пустые места в таблице и составьте аналогичную таблицу для арктангенсов и арккотангенсов. a011/2-1\2 3/2 -3/22/2-2/2 arccos α /2 /4 arcsin α0 - /6

Вариант 5 (15 мин) В двух следующих вариантах вам предстоит сыграть роль учителя, проверяющего работы учеников. Если приведённый ответ, по вашему мнению, верен, то в списке ответов поставьте после номера задания знак «+». В противном случае, поставьте знак «-». Были даны пять уравнений (31-35) и получены следующие ответы: 31. cos (0,5x) =0, cos²x + cos x – 3 cos x – cos²x = 2-3sin x 34. ctg³ x =3 ctg x. 35. sin (4x + /4) = 2/2. Ответы: 31. ±2 /3 + 4 n, n Z n, n Z или /2 + k, k Z n, n Z. 34. ± /6 + n, n Z или /2 + k, k Z. 35. n/2, n Z или - /4+ k/2, k Z. Верны ли эти ответы? 31. _______ 32. _______ 33.________ 34. ________ 35._______ 8-10 верных ответовПереходите к варианту верных ответовРазберите решения. Переходите к варианту верных ответаВам лучше начать заново с варианта 1

Разбор заданий. 5 вариант. 31. ± 2 /3 + 4 n, n Z. Предложенный ответ верен. Действительно, используя общий вид решения уравнения вида cos x = a и табличные значения арккосинусов, получаем 0,5 х = ±2arccos 0,5+ 4 n, X = ±2· /3+4 n, x =±2 /3+4 n, n Z n, n Z или /2 + k, k Z. Предложенный ответ неверен: если х =2 n, n Z то cos x = 1, cos x-1=0, и левая часть уравнения не определена. Видимо, автор допустил типичную ошибку: домножил на знаменатель, получил уравнение 2cos ²x+cos x – 3 = 3(cos x -1), 2 cos²x – 2 cosx=0, 2cos x(cos x -1)=0 и (верно!) решил его, забыв про ОДЗ n, n Z. Предложенный ответ неверен: число х = очевидно является корнем уравнения, но не входит в указанный ответ. Посмотрим, где возможна ошибка. 2cos²x=2 – 3 sin x, 0 = (2 – 2cos²x) – 3sinx, 0 = 2sin²x – 3 sinx, sin x(2sin x – 3)=0.Второй множитель всегда отличен от нуля, так как 2sin x2

Вариант 6 (15мин). Были даны пять уравнений (36 – 40) и получены такие ответы к ним: 36.2sin(2,5)= sin²x+sinx+2 1 – sinx cosx=3sin²x. 39. tg x tgx 40. cos( /4 – 2x)=1. Ответы:36.( -1)¹ / 15+0,4 n, n Z. 37. k/2, k Z. 38. /2+ k,k Z. 39. ± /4+ n, n Z или k, k Z, /8+ k, k Z. Верны ли эти ответы? 36.______ 37._______ 38.______ 39_______40_________ верных ответовПереходите к варианту верных ответаВернитесь к варианту 5

Вариант 7(15мин). В варианте 7 вам надо оценить уж не один, а два предложенных ответа: 1)и 2). Если приведенный ответ, по вашему мнению, верен, то в списке ответов поставьте знак «+» после номера ответа. В противном случае, поставьте знак «-». Были даны следующие пять заданий (41 – 45) и получены такие ответы к ним: 41.Вычислите: arccos(-0,5) – arctg(-1). 42. Верно ли неравенство arcsin1

Вариант8 (15мин) В таблице ответов под номером задания (46- 50) поставьте знак «*» в клеточку, номер которой соответствует номеру выбранного вами ответа ) 2) 3) 4)

Вариант 8 (15мин) 46. Решите уравнение sin3x=0,5 (во всех ответах 1)-4)n Z) 1) (-1) /.9+ n/3; 2) ± /18+2 n/3; 3) (-1) /18+ n/3; 4) ± /9+2 n/3. 47.Решите уравнение cos4x= -1. 1) n/2; 2) /8+ n/2; 3) /4+ n/2; 4) /4+ n. 48.Чему равна сумма корней уравнения tg²x+1=2( 3tgx-1), принадлежащему отрезку [0,5 ; 3 ]? 1) 3 ; 2) 10 /3; 3 ) 3 ; 4) 11 / Найдите число корней уравнения sin²x+3cosx+3=0, принадлежащих отрезку [-0,5 ;4 ]. 1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) Вычислите:arcsin1+arccos0,5+arctg1. 1) 4 /3; 2) 7 /12; 3)11 /12; 4) 13 /12.