Вершины, ребра и грани Рассмотрим известные нам многогранники и заполним следующую таблицу, в которой В – число вершин, Р – число ребер, Г – число граней многогранника. Название многогранника ВРГ Треугольная пирамида Четырехугольная пирамида Треугольная призма Четырехугольная призма n-угольная пирамида n-угольная призма n+12n2n 2n2n3n3nn+2

Упражнение 1 Посчитайте число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) для многогранников, изображенных на рисунке. Чему равно В – Р + Г? Ответ: а) В = 4, Р = 6, Г = 4; б) В = 8, Р = 12, Г = 6; в) В = 6, Р = 12, Г = 8; г) В = 20, Р = 30, Г = 12; д) В = 12, Р = 30, Г = 20.

ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА Из приведенных примеров непосредственно видно, что для всех выбранных многогранников имеет место равенство В - Р + Г = 2. Оказывается, что это равенство справедливо не только для рассмотренных многогранников, но и для произвольного выпуклого многогранника. Впервые это свойство выпуклых многогранников было доказано Леонардом Эйлером в 1752 году и получило название теоремы Эйлера. Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство В - Р + Г = 2, где В - число вершин, Р - число ребер и Г - число граней данного многогранника.

Л. ЭЙЛЕР Леонард Эйлер ( ) - один из величайших математиков мира, работы которого оказали решающее влияние на развитие многих современных разделов математики. Эйлер долгое время жил и работал в России, был действительным членом Петербургской Академии наук, оказал большое влияние на развитие отечественной математической школы и в деле подготовки кадров ученых-математиков и педагогов в России. Поражает своими размерами научное наследие ученого. При жизни им опубликовано 530 книг и статей, а сейчас их известно уже более 800. Причем последние 12 лет своей жизни Эйлер тяжело болел, ослеп и, несмотря на тяжелый недуг, продолжал работать и творить. Все математики последующих поколений так или иначе учились у Эйлера, и недаром известный французский ученый П.С. Лаплас сказал: "Читайте Эйлера, он - учитель всех нас".

Упражнение 2 Выполняется ли соотношение Эйлера для невыпуклой призмы? Ответ: Да.

Упражнение 3 Выполняется ли соотношение Эйлера для невыпуклой пирамиды? Ответ: Да.

Упражнение 4 Посчитайте число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) у многогранников, изображенных на рисунке. Выполняется ли для них равенство Эйлера? Ответ: а) В = 12, Р = 18, Г = 8, да; б) В = 16, Р = 24, Г = 10, да.

Упражнение 5 Приведите пример многогранника, для которого не выполняется соотношение Эйлера. Ответ: Например, куб, из которого вырезан прямоугольный параллелепипед.

Упражнение 6 Чему равна эйлерова характеристика многогранника (В – Р + Г), где В – число вершин, Р – рёбер и Г – граней многогранника), представленного на рисунке? Ответ: 0.

Упражнение 7 Гранями выпуклого многогранника являются только треугольники. Сколько у него вершин и граней, если он имеет: а) 12 ребер; б) 15 ребер? Ответ: а) В = 6, Г = 8;б) В = 7, Г = 10.

Упражнение 8 Из каждой вершины выпуклого многогранника выходит три ребра. Сколько он имеет вершин и граней, если число ребер равно: а) 12; б) 15? Ответ: а) В = 8, Г = 6;б) В = 10, Г = 7.

Упражнение 9 Гранями выпуклого многогранника являются только четырехугольники. Сколько у него вершин и граней, если число ребер равно 12? Приведите пример такого многогранника. Ответ: В = 8, Г = 6, куб.

Упражнение 10 В каждой вершине выпуклого многогранника сходится по четыре ребра. Сколько он имеет вершин и граней, если число ребер равно 12? Приведите пример такого многогранника. Ответ: В = 6, Г = 8, октаэдр.

Упражнение 11 Как изменится число вершин, рёбер и граней выпуклого многогранника, если к одной из его граней пристроить пирамиду? Изменится ли В – Р + Г? Ответ: Пусть пристроена n-угольная пирамида, тогда количество вершин станет (В+1), рёбер - (Р+n), граней - (Г+n). В – Р + Г не изменится.

Упражнение 12 Как изменится число вершин, рёбер и граней выпуклого многогранника, если от него отсечь один из многогранных углов? Изменится ли В – Р + Г? Ответ: Пусть отсекли m-гранный угол, тогда количество вершин будет (В+m-1), рёбер - (Р+m), граней - (Г+1). В – Р + Г не изменится.

Упражнение 13* Докажите, что в любом выпуклом многограннике число треугольных граней плюс число трехгранных углов больше или равно восьми. Доказательство. Обозначим через В i число вершин выпуклого многогранника, в которых сходится i ребер. Тогда для общего числа вершин В имеет место равенство В = В 3 + В 4 + В 5 + …. Аналогично, обозначим через Г i число граней выпуклого многогранника, у которых имеется i ребер. Тогда для общего числа граней Г имеет место равенство Г = Г 3 + Г 4 + Г 5 + …. Имеем: 3В 3 + 4В 4 + 5В 5 + … = 2Р, 3Г 3 + 4Г 4 + 5Г 5 + … = 2Р. По теореме Эйлера выполняется равенство 4В – 4Р + 4Г = 8. Подставляя вместо В, Р и Г их выражения, получим 4В 3 + 4В 4 + 4В 5 + … – (3В 3 + 4В 4 + 5В 5 + …) – (3Г 3 + 4Г 4 + 5Г 5 + …) + 4Г 3 + 4Г 4 + 4Г 5 + … = 8. Следовательно, В 3 + Г 3 = 8 + В 5 + … + Г 5 + …, значит, число треугольных граней плюс число трехгранных углов больше или равно восьми.

Упражнение 14* Докажите, что в любом выпуклом многограннике имеется грань с числом сторон, меньшим шести. Доказательство. Обозначим через В i число вершин выпуклого многогранника, в которых сходится i ребер. Тогда для общего числа вершин В имеет место равенство В = В 3 + В 4 + В 5 + …. Аналогично, обозначим через Г i число граней выпуклого многогранника, у которых имеется i ребер. Предположим, что у многогранника нет граней с числом сторон, меньшим шести. Тогда для общего числа граней Г имеет место равенство Г = Г 6 + Г 7 + Г 8 + …. Имеем: 3В 3 + 4В 4 + 5В 5 + … = 2Р, 6Г 6 + 7Г 7 + 8Г 8 + … = 2Р. Из этих равенств следует выполнимость неравенств 3В 2Р и 6Г 2Р, из которых получаем: 3В – 3Р + 3Г 0, а по теореме Эйлера должно выполняться равенство 3В – 3Р + 3Г = 6. Полученное противоречие показывает, что неверным было наше предположение об отсутствии граней с числом сторон, меньшим шести. Значит, в выпуклом многограннике обязательно найдется грань с числом сторон, меньшим шести.

Упражнение 15* Докажите, что в любом выпуклом многограннике имеется многогранный угол с числом ребер, меньшим шести. Доказательство получается из предыдущего, если в нем буквы В и Г поменять местами.