Группы гомологий категории частичного действия моноида Хусаинов А.А.

2 Объект исследования: категория частичного действия моноида Обозначение: PSet – категория множеств и частичных отоборажений Пусть M – моноид, S – множество Частичным действием справа M на S называется гомоморфизм M op PSet(S,S) Пример 1. M=N 2 ={a p b q : p, q=0, 1, 2, …}, S= {s 0, s 1, s 2, s 3, s 4 } s 0 a=s 1, s 0 b=s 2 s 1 a=s 4, s 1 b=s 3 s 2 a=s 3

3 Объект исследования: категория частичного действия моноида Категория K(S) частичного действия имеет объекты s S. Морфизмами s 1 s 2 служат тройки (s 1,, s 2 ). Композиция (s 2, 2, s 3 ) (s 1, 1, s 2 )= (s 1, 1 2, s 3 ). В примере 1 K(S) будет частично упорядоченным Множеством s 0

4 Моноиды трасс Пусть E – множество, I E E – антирефлексивное, симметричное отношение (независимости) Свободным частично коммутативным моноидом (или моноидом трасс) M(E,I) называется фактор-моноид E * /( ), моноида слов E * по отношению эквивалентности, при котором uabv ubav, для всех (a,b) I, u E *, v E * Моноид трасс M(E,I) называется локально конечномерным, если E не содержит бесконечных подмножеств попарно перестановочных элементов

5 Примеры моноидов трасс E ={a,b}, I ={(a,b),(b,a)}, M(E,I) N 2 – свободный коммутативный моноид M(E,I) N 2 – свободный коммутативный моноид E ={a,b}, I =, M(E,I) {a,b} * – свободный моноид M(E,I) {a,b} * – свободный моноид

6 Интерпретация трасс Трасса w M(E,I) интерпретируется как последовательность действий a 1 a 2 … a n Переставляя пары независимых элементов, ее можно привести к нормальной форме Фоаты [b 1 b 2 …b p ] [b p+1 … b q ]… [b r+1 … b n ] (в скобках действия, выполняемые параллельно) (в скобках действия, выполняемые параллельно)

7 Классифицирующее пространство Пусть C – малая категория. Классифицирующее пространство BC строится с помощью приклеивания клеток. Объектам c ObC соответствуют точки. Морфизмам c 0 с 1 – отрезки. Тройкам c 0 с 1 с 2 – треугольники и т.д.

8 Цель доклада Исследование групп гомологий Бауэса- Виршинга категории частичного действия K(S) моноида M на S Применение этих гомологий для построения алгоритмов вычисления групп гомологий пространства B(K(S)) и направленных групп гомологий для частичного действия моноида трасс

9 Гомологии категории Пусть C – малая категория, colim C : Ab C Ab – функтор копредела, F: C Ab – объект из Ab C. 0 F P 0 P 1 … P n P n+1 … -проективная резольвента, С - комплекс 0 colim C P 0 colim C P 1 … … colim C P n colim C P n+1 … Группы H n (C,F) H n (С ), n 0, называются группами гомологий категории C с коэффициентами в F.

10 Категория факторизаций Пусть C – малая категория. Объектами категории факторизаций Fact(C) служат морфизмы категории C, а морфизмами - коммутативные диаграммы: Пример 2. Рассмотрим моноид M как категорию. Тогда объекты Fact (M) – элементы из M. Морфизмы – такие пары элементов (f,g) из M, что g f=. Предложение 1. Fact(C) Fact(C op )

11 Гомологии Бауэса-Виршинга Пусть C – малая категория, F: Fact(C) op Ab – функтор. H n (Fact(C) op,F) называются группами гомологий Бауэса-Виршинга с коэффициентами в контравариантной натуральной системе F на C. Если C=M – моноид, то H n (Fact(M) op,F) называются группами гомологий Лича диаграммы F

12 Гомологии Бауэса-Виршинга Пусть S – множество с частичным действием моноида M, K(S) – категория действия, F: Fact(K(S)) op Ab – функтор, U: K(S) M op – функтор, определенный как U(s 1,,s 2 )=. Теорема Теорема. H n (Fact(K(S)) op,F) H n (Fact(M) op,L(F)) Здесь L(F) – левое расширение Кана функтора F вдоль функтора Fact(K(S)) op Fact(M) op, определенного функтором U.

13 Гомологии классифицирующего пространства категории действия Пусть M(E,I) – моноид трасс. Для всех n= 0, 1, 2, … введем множества T n (E,I)={(a 1,…, a n )| a i

14 Гомологии классифицирующего пространства категории действия Следствие 1 Следствие 1. Пусть S – множество с частичным действием локально конечномерного моноида трасс M(E,I). Группы H n (B(K(S))) изоморфны группам гомологий комплекса Здесь s S означает, что s определен.

15 Вычисление групп гомологий Пусть k – поле, -комплекс векторных пространств Тогда H n =Ker d n / Im d n+1 = k dimC n -r(d n )-r(d n+1 ), где r(A) - ранг матрицы A Предложение 2. Пусть A – матрица с целыми коэффициентами. Тогда существуют матрицы S, T, D, такие, что 1)A= T D S2) |det S|=|det T|=1 3) D – диагональная матрица где 1 | 2 | … | r Если вместо k – кольцо целых чисел, то группы гомологий вычисляются с помощью нормальной формы Смита H n =Ker d n / Im d n+1 = Z dimC n -r(d n )-r(d n+1 ) Z/ 1 Z … Z/ r Z, r=r(d n+1 )

16 Пример вычисления групп гомологий категории действия Пример 3. C 0 =L{s 0,s 1 }, C 1 =L{(s 0,a), (s 0,b), (s 1,a)}, C 2 =L{(s 0,a,b)} Получаем H 0 =Z 2-1 =Z, H 1 =Z = Z

17 Направленные группы гомологий Пусть 0 Z: K(S) Ab и 1 Z: K(S) op Ab – функторы, принимающие на объектах значения Z – аддитивная группа целых чисел, а на морфизмах: Группы H n 0 (S,M(E,I)) = опр H n (K(S), 0 Z) и H n 1 (S,M(E,I)) = опр H n (K(S) op, 1 Z) называются направленными группами гомологий

18 Направленные группы гомологий Следствие 2. В условиях следствия 1 группы H n 0 (S,M(E,I)) будут изоморфны группам гомологий комплекса, состоящего из таких же абелевых групп, но имеющего дифференциалы а H n 1 (S,M(E,I)) - дифференциалы

19 Пример вычисления направленных групп гомологий Пример 4. Группы H 0 0 и H 1 0 C 0 =L{s 0,s 1,s 2 }, C 1 =L{(s 0,a), (s 0,b)}, Получаем H 0 0 =Z 3-1 =Z 2, H 1 0 =Z 2-1 = Z

20 Пример вычисления направленных групп гомологий Группы H 0 1 и H 1 1 C 0 =L{s 0,s 1,s 2 }, C 1 =L{(s 0,a), (s 0,b)}, Получаем H 0 0 =Z 3-2 =Z, H 1 0 =Z 2-2 = 0

21 Интерпретация групп гомологий H 0 0 и H 0 1 Элемент s S называется инициальным, если категория действия не имеет входящих в него морфизмов. Финальным – если нет выходящих из него морфизмов. Группы H 0 0 (S,M(E,I)) и H 0 1 (S,M(E,I)) свободны. Инициальные элементы порождают H 0 1 (S,M(E,I)), финальные - H 0 0 (S,M(E,I)) На рисунке: rk H 0 1 (S,M(E,I))=1 rk H 0 0 (S,M(E,I))=2

22 Локальные группы гомолоий Рассмотрим разложения и, где - функтор, определенный как Аналогично определяется функтор. Получим разложения направленных групп гомологий. Локальные группы гомологий категории частичного действия моноида трасс M(E,I) на S определяются как

23 Вычисление локальных групп гомологий где Дифференциалы определены по формуле Предложение 3. Пусть S - множество с частичным действием моноида трасс M(E,I). Для s S, группы можно вычислять с помощью комплекса абелевых групп

24 Вычисление локальных групп гомологий H n 0 Следствие 3. Пусть S - множество с частичным действием моноида трасс M(E,I). Для s S, рассмотрим симплициальную схему (s) над множеством вершин 0 (S,E,I.s)= {a 0 E | sa 0 S}. Имеющей множества n-мерных симплексов Напомним, что

25 Пример 5. - число финальных эл-ов = 2 Пример вычисления групп H n 0

26 Вычисление локальных групп гомологий H n 1 где Дифференциалы определены по формуле Предложение 4. Пусть S - множество с частичным действием моноида трасс M(E,I). Для s S, группы можно вычислять с помощью комплекса абелевых групп

27 Вычисление локальных групп H n 1 - число иниц. эл-ов = 1 Пример 6.

28 Связь с бисимуляционной эквивалентностью Следствие 4. Для s S, рассмотрим комплекс Пусть S - множество с частичным действием моноида трасс M(E,I). Для s S, в комплексе для вычисления групп гомологий симплициальной схемы (s) отбросим условие e 1

29 Связь с бисимуляционной эквивалентностью Предложение 5. Морфизм пунктированных множеств открыт тогда и только тогда, когда соответствующий морфизм асинхронных систем Pom -открыт. Пусть S - множество с частичным действием моноида трасс M(E,I). Функцией метки : E называется отображение, такое, что ( a 1, a 2 ) I ( a 1 ) ( a 2 ). Пусть A=(S,M(E,I),s 0,, ) множество с частичным действием моноида трасс и функцией метки. Элемент s S достижим, если ( M(E,I)) s= s 0. Определение. Морфизм полигонов с метками A A открыт, если он задан Парой таких (тотальных) отображений : S S, : E E, что 1) (s 0 )= s 0, 2) сохраняет метки, т.е. =. 3)(e 1,e 2 ) I ( (e 1 ), (e 2 ) I 4)если s достижим, то : {s | se S} {e | (s)e S} – сюръекция 5)если s достижим, то : {(e 1,e 2 ) I | se 1 e 2 S} {(e 1,e 2 ) I | (s)e 1 e 2 S} - сюръекция

30 Связь с бисимуляционной эквивалентностью Теорема. Если асинхронные системы A и A со строгими метками : E и : E бисимуляционно эквивалентны, то s S(s 0 ) s S(s 0 ), и наоборот, такой что Пунктированные полигоны A 1 и A 2 с метками в называются бисимуляционно эквивалентными, если существует A и открытые морфизмы A 1 A A 2. Рассмотрим комплекс L : Функция метки определяет морфизм комплексов

31 Пример трассово эквивалентных, но не бисимуляционно эквивалентных ={ a, b, c} E={ a 1, a 2,b, c}, E={ a,b, c} ( a 1 )= ( a 2 )= a ( a )= a (b)=b (b)=b (c)=c (c)=c Трассы ab и ac. Комплексы

32 Перспектива Исследование гомотопических копределов диаграмм над категориями частичных действий Применение групп гомологий для исследования топологии пространств состояний параллельных систем