Симметрии Ц Ц ееее нннн тттт рррр аааа лллл ьььь нннн аааа яяяя с с с с ииии мммм мммм ееее тттт рррр ииии яяяя О О сссс ееее вввв аааа яяяя с с с с ииии мммм мммм ееее тттт рррр ииии яяяя З З ееее рррр кккк аааа лллл ьььь нннн оооо ееее о о о о тттт рррр аааа жжжж ееее нннн ииии ееее П П аааа рррр аааа лллл лллл ееее лллл ьььь нннн ыыыы йййй п п п п ееее рррр ееее нннн оооо сссс П оооо вввв оооо рррр оооо тттт © Романов 2009

Центральная симметрия Основные сведения1. Симметрией относительно точки A называют преобразование плоскости, переводящее точку X в такую точку Xў, что A - середина отрезка XXў. Другие названия этого преобразования - центральная симметрия с центром A или просто симметрия с центром A. Основные сведения1. Симметрией относительно точки A называют преобразование плоскости, переводящее точку X в такую точку Xў, что A - середина отрезка XXў. Другие названия этого преобразования - центральная симметрия с центром A или просто симметрия с центром A. Заметим, что симметрия с центром A представляет собой частный случай двух других преобразований - она является поворотом на 180° с центром A, а также гомотетией с центром A и коэффициентом – 1. Заметим, что симметрия с центром A представляет собой частный случай двух других преобразований - она является поворотом на 180° с центром A, а также гомотетией с центром A и коэффициентом – Если фигура переходит в себя при симметрии относительно точки A, то A называют центром симметрии этой фигуры. 2. Если фигура переходит в себя при симметрии относительно точки A, то A называют центром симметрии этой фигуры..

Центральная симметрия 3. В главе используются следующие обозначения для преобразований: 3. В главе используются следующие обозначения для преобразований: SA - симметрия с центром A, SA - симметрия с центром A, Ta - перенос на вектор a. Ta - перенос на вектор a. 4. Композицию симметрий относительно точек A и B мы будем обозначать SB°SA; при этом сначала выполняется симметрия SA, затем симметрия SB. Кажущаяся неестественность такой последовательности операций оправдывается тождеством (SB°SA)(X) = SB(SA(X)). 4. Композицию симметрий относительно точек A и B мы будем обозначать SB°SA; при этом сначала выполняется симметрия SA, затем симметрия SB. Кажущаяся неестественность такой последовательности операций оправдывается тождеством (SB°SA)(X) = SB(SA(X)). Композиция отображений обладают свойством ассоциативности: F°(G°H) = (F°G)°H. Поэтому порядок, в каком берется композиция, несуществен, и можно просто писать F°G°H. Композиция отображений обладают свойством ассоциативности: F°(G°H) = (F°G)°H. Поэтому порядок, в каком берется композиция, несуществен, и можно просто писать F°G°H. 5. Композиции двух центральных симметрий или симметрии и переноса вычисляются по следующим формулам: 5. Композиции двух центральных симметрий или симметрии и переноса вычисляются по следующим формулам: а) SB°SA = T2[( ®) || ( AB)]; а) SB°SA = T2[( ®) || ( AB)]; б) Ta°SA = SB и SB°Ta = SA, где a = 2® AB б) Ta°SA = SB и SB°Ta = SA, где a = 2® AB

Осевая симметрия Основные сведения1. Симметрией относительно прямой l (обозначение: Sl) называют преобразование плоскости, переводящее точку X в такую точку Xў, что l - серединный перпендикуляр к отрезку XXў. Это преобразование называют также осевой симметрией, а l - осью симметрии. Основные сведения1. Симметрией относительно прямой l (обозначение: Sl) называют преобразование плоскости, переводящее точку X в такую точку Xў, что l - серединный перпендикуляр к отрезку XXў. Это преобразование называют также осевой симметрией, а l - осью симметрии. 2. Если фигура переходит в себя при симметрии относительно прямой l, то l называют осью симметрии этой фигуры. 2. Если фигура переходит в себя при симметрии относительно прямой l, то l называют осью симметрии этой фигуры. 3. Композиция двух осевых симметрий является параллельным переносом, если их оси параллельны, и поворотом, если они не параллельны. 3. Композиция двух осевых симметрий является параллельным переносом, если их оси параллельны, и поворотом, если они не параллельны.

Осевая симметрия Осевые симметрии являются как бы кирпичиками, из которых построены все другие движения плоскости: любое движение является композицией не более чем трех осевых симметрий. Поэтому композиции осевых симметрий дают гораздо более мощный метод решения задач, чем композиции центральных симметрий. Кроме того, поворот часто бывает удобно разложить в композицию двух симметрий, причем за одну из осей можно взять любую прямую, проходящую через центр поворота. Осевые симметрии являются как бы кирпичиками, из которых построены все другие движения плоскости: любое движение является композицией не более чем трех осевых симметрий. Поэтому композиции осевых симметрий дают гораздо более мощный метод решения задач, чем композиции центральных симметрий. Кроме того, поворот часто бывает удобно разложить в композицию двух симметрий, причем за одну из осей можно взять любую прямую, проходящую через центр поворота.

Зеркальное отражение

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС – преобразование плоскости или пространства, при котором все точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

Поворот