МНОГОГРАННИКИ Многогранником называется тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников, называемых гранями многогранника. Стороны и вершины этих многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника. Отрезки, соединяющие вершины многогранника, не принадлежащие одной грани, называются диагоналями многогранника. Многогранник называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками он содержит и соединяющий их отрезок. На рисунках приведены примеры выпуклых и невыпуклых многогранников.

МНОГОГРАННИКИ Пространственные представления о многогранниках предполагают не только знание определений тех или иных многогранников, но и умения: 1) среди моделей многогранников указывать многогранники данного типа; 2) приводить примеры окружающих предметов, имеющих форму многогранников; 3) распознавать изображения многогранников среди данных изображений пространственных фигур; 4) изображать различные многогранники на бумаге; 5) изготавливать модели многогранников; 6) решать задачи на нахождение числа вершин, ребер и граней многогранников; 7) приводить примеры многогранников с заданным числом вершин, ребер, граней.

КУБ 1 Кубом называется многогранник, поверхность которого состоит из шести квадратов. На рисунке даны несколько изображений куба.

КУБ 2 Обычно куб изображается так, как показано на рисунке. А именно, рисуется квадрат ABB 1 A 1, изображающий одну из граней куба, и равный ему квадрат DCC 1 D 1, стороны которого параллельны соответствующим сторонам квадрата ABB 1 A 1. Соответствующие вершины этих квадратов соединяются отрезками. Отрезки, изображающие невидимые ребра куба, проводятся пунктиром.

КУБ 3 На рисунках показаны несколько изображений куба. На рисунке а) мы смотрим на куб сверху и справа; б) сверху и слева; в) снизу и справа; г) снизу и слева.

Упражнение 1 Сколько вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) имеет куб? Ответ. В = 8, Р = 12, Г = 6.

Упражнение 2 Изобразите куб на клетчатой бумаге, аналогично данному на рисунке.

Упражнение 3 На рисунке изображены три ребра куба. Изобразите весь куб. Ответ.

Упражнение 4 На рисунке изображены три ребра куба. Изобразите весь куб. Ответ.

Упражнение 5 На рисунке изображены три ребра куба. Изобразите весь куб. Ответ.

Упражнение 6 На рисунке изображены три ребра куба. Изобразите весь куб. Ответ.

Упражнение 7 Сколько имеется путей длины 3 по ребрам единичного куба из вершины A в вершину C 1 ? Ответ. 6.

Упражнение 8 На рисунке изображены два единичных куба. Сколько имеется путей длины 4 по ребрам этих кубов из вершины A в вершину D 1 ? Ответ. 12.

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД 1 Параллелепипедом называется многогранник, поверхность которого состоит из шести параллелограммов. Прямоугольным параллелепипедом называется параллелепипед, грани которого – прямоугольники. Обычно параллелепипед изображается так, как показано на рисунке. А именно, рисуется параллелограмм ABB 1 A 1, изображающий одну из граней параллелепипеда, и равный ему параллелограмм DCC 1 D 1, стороны которого параллельны соответствующим сторонам параллелограмма ABB 1 A 1. Соответствующие вершины этих параллелограммов соединяются отрезками. Отрезки, изображающие невидимые ребра куба, проводятся пунктиром. В случае прямоугольного параллелепипеда вместо параллелограммов, изображающих две грани, рисуются равные прямоугольники.

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД 2 На рисунках показаны некоторые изображения параллелепипедов.

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД 3 На рисунке а) мы смотрим на параллелепипед сверху и справа; б) сверху и слева; в) снизу и справа; г) снизу и слева.

Упражнение 1 Укажите номера рисунков, на которых изображен параллелепипед? Ответ: 1, 3, 4.

Упражнение 2 Сколько вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) имеет параллелепипед? Ответ. В = 8, Р = 12, Г = 6.

Упражнение 3 Изобразите прямоугольный параллелепипед на клетчатой бумаге, аналогично данному на рисунке.

Упражнение 4 На рисунке изображены три ребра прямоугольного параллелепипеда. Изобразите весь параллелепипед. Ответ.

Упражнение 5 На рисунке изображены три ребра прямоугольного параллелепипеда. Изобразите весь параллелепипед. Ответ.

Упражнение 6 На рисунке изображены три ребра прямоугольного параллелепипеда. Изобразите весь параллелепипед. Ответ.

Упражнение 7 На рисунке изображены три ребра прямоугольного параллелепипеда. Изобразите весь параллелепипед. Ответ.

ПРИЗМА Призмой называется многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников, называемых основаниями призмы, и параллелограммов, имеющих общие стороны с каждым из оснований и называемых боковыми гранями призмы. Стороны боковых граней, не лежащие в основаниях, называются боковыми ребрами призмы. Призма называется n-угольной, если ее основаниями являются n- угольники. На рисунке изображены треугольная, четырехугольная, пятиугольная и шестиугольная призмы.

ПРЯМАЯ ПРИЗМА Призма называется прямой, если её боковые грани – прямоугольники. На рисунке изображена прямая треугольная призма. Её основаниями являются треугольники ABC и A 1 B 1 C 1, боковыми гранями – прямоугольники ABB 1 A 1, ACC 1 A 1, BCC 1 B 1.

ПРАВИЛЬНАЯ ПРИЗМА Прямая призма называется правильной, если её основания – правильные многоугольники. На рисунке изображена правильная шестиугольная призма. Ее основания изображаются шестиугольниками, противоположные стороны которых равны и параллельны. Боковые грани ABB 1 A 1 и DEE 1 D 1 изображаются прямоугольниками.

Упражнение 1 Являются ли треугольными призмами многогранники, изображенные на рисунках? а) б) в) Ответ: Да.

Упражнение 2 Являются ли призмами многогранники, изображенные на рисунках? а) б) в) Ответ: Да.

Упражнение 3 Являются ли призмами многогранники, изображенные на рисунках? а) б) в) Ответ: Да.

Упражнение 4 Являются ли призмами многогранники, изображенные на рисунках? а) б) в) г) Ответ: а), б) Нет; в), г) да.

Упражнение 5 Изобразите треугольную призму на клетчатой бумаге, аналогично данной на рисунке.

Упражнение 6 Изобразите правильную шестиугольную призму на клетчатой бумаге, аналогично данной на рисунке.

Упражнение 7 На рисунке изображены три ребра треугольной призмы. Изобразите всю призму. Ответ.

Упражнение 8 На рисунке изображены три ребра треугольной призмы. Изобразите всю призму. Ответ.

Упражнение 9 На рисунке изображены четыре ребра шестиугольной призмы. Изобразите всю призму. Ответ.

Упражнение 10 На рисунке изображены четыре ребра шестиугольной призмы. Изобразите всю призму. Ответ.

Упражнение 11 Сколько вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) имеет: Ответ: а) В = 6, Р = 9, Г = 5.а) треугольная призма? б) В = 8, Р = 12, Г = 6. в) В = 10, Р = 15, Г = 7. г) В = 12, Р = 18, Г = 8. б) четырехугольная призма? в) пятиугольная призма? г) шестиугольная призма?

Упражнение 12 Существует ли призма, которая имеет: Ответ: Нет.а) 4 ребра? Ответ: Нет. Ответ: Да. б) 6 рёбер? в) 12 рёбер? г) 21 ребро?

Упражнение 13 Какой многоугольник лежит в основании призмы, которая имеет: Ответ: Шестиугольник.а) 18 рёбер? б) 24 вершины? в) 36 граней? Ответ: Двенадцатиугольник. Ответ: Тридцатичетырёхугольник.

Упражнение 14 На рисунке изображена треугольная призма, на ребрах и диагоналях боковых граней которой поставлены стрелки. Сколько имеется путей по этим ребрам и диагоналям из вершины A в вершину C 1, если двигаться разрешается только в направлениях, указанных стрелками? Ответ. 9.

ПИРАМИДА Пирамидой называется многогранник, поверхность которого состоит из многоугольника, называемого основанием пирамиды, и треугольников с общей вершиной, называемых боковыми гранями пирамиды. Стороны боковых граней, не лежащие в основании, называются боковыми ребрами пирамиды. Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды Пирамида называется n-угольной, если ее основанием является n- угольник. На рисунке изображенsы треугольная, четырехугольная, пятиугольная и шестиугольная пирамиды.

ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА Пирамида называется правильной, если её основание – правильный многоугольник и все боковые ребра равны. На рисунках изображены правильная четырехугольная и правильная шестиугольная пирамиды. Их основания изображаются соответственно параллелограммом и шестиугольником, противоположные стороны которого равны и параллельны.

Упражнение 1 Являются ли пирамидами многогранники, изображенные на рисунках? а) б) в) Ответ: а), б) Да; в) нет.

Упражнение 2 Являются ли пирамидами многогранники, изображенные на рисунках? а) б) в) Ответ: а), б) Да; в) нет.

Упражнение 3 Изобразите правильную четырехугольную пирамиду на клетчатой бумаге, аналогично данной на рисунке.

Упражнение 4 Изобразите правильную шестиугольную пирамиду на клетчатой бумаге, аналогично данной на рисунке.

Упражнение 5 На рисунке изображены три ребра четырехугольной пирамиды. Изобразите всю пирамиду. Ответ.

Упражнение 6 На рисунке изображены три ребра четырехугольной пирамиды. Изобразите всю пирамиду. Ответ.

Упражнение 7 На рисунке изображены четыре ребра шестиугольной пирамиды. Изобразите всю пирамиду. Ответ.

Упражнение 8 На рисунке изображены четыре ребра шестиугольной пирамиды. Изобразите всю пирамиду. Ответ.

Упражнение 9 Сколько вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) имеет: Ответ: а) В = 4, Р = 6, Г = 4.а) треугольная пирамида? б) В = 5, Р = 8, Г = 5. в) В = 6, Р = 10, Г = 6. г) В = 7, Р = 12, Г = 7. б) четырехугольная пирамида? в) пятиугольная пирамида? г) шестиугольная пирамида?

Упражнение 10 Существует ли пирамида, которая имеет: а) 10 ребер? б) 6 рёбер? в) 24 ребра? г) 33 ребра? Ответ: Да. Ответ: Нет.

Упражнение 11 Какой многоугольник лежит в основании пирамиды, которая имеет: Ответ: 59-угольник. а) 8 рёбер? б) 22 вершины? в) 60 граней? Ответ: 4-угольник. Ответ: 21-угольник.

Упражнение 12 Какой выпуклый многогранник имеет своими вершинами следующие вершины треугольной призмы: а) A, B, С, A 1 ; б) A, B, C, C 1, B 1 ; Ответ: треугольная пирамида; Ответ: четырехугольная пирамида.

Упражнение 13 Какой выпуклый многогранник имеет своими вершинами следующие вершины куба: Ответ: четырехугольная пирамида; а) A, B, D, A 1, B 1, D 1 ; б) A, D, D 1, B, C, C 1 ; в) A, B, C, D, A 1 ; Ответ: треугольная призма; Ответ: четырехугольная пирамида; г) A, D, D 1, A 1, B; Ответ: треугольная пирамида; д) A, B, C, B 1 ; Ответ: треугольная пирамида; е) A, B, D, C 1 ; Ответ: треугольная пирамида. е) A, C, B 1, D 1 ;

Упражнение 14 Какой выпуклый многогранник имеет своими вершинами следующие вершины шестиугольной призмы: Ответ: четырехугольная пирамида; а) A, B, D, E, F, A 1 ; б) A, B, D, E, A 1, B 1, D 1, E 1 ; в) A, B, D 1, E 1, C 1 ; Ответ: шестиугольная пирамида; Ответ: параллелепипед; Ответ: треугольная призма; г) A, B, C, A 1, B 1, C 1 ; Ответ: четырехугольная призма; д) A, B, C, D, A 1, B 1, C 1, D 1 ; Ответ: треугольная пирамида; е) A, С, E, D 1 ; Ответ: четырехугольная пирамида. е) A, B, B 1, A 1, E 1 ;