1. (а + b)¹= а + b 2. (а + b)²= а²+ 2аb + b² 3. (а + b)³= а³ +3а²b + 3аb² + b³ Можно раскрыть скобки при вычислении (а +b) и т.д., умножая полученный на предыдущем шаге результат на (а + b). (а+b)=(а+b)³(а+b)=(а³+3а²b+3аb²+b³)(а+b)= а+4а³b+6а²b²+4аb³+b

При разложении (а + b) в многочлен получается сумма членов а, а¹b, а²b², …., аb¹, b с некоторыми коэффициентами. Для нахождения этих коэффициентов применяют треугольник Паскаля. Используя треугольник паскаля можно найти разложение (а +b) в многочлен для любого натурального n.

Треугольник Паскаля n = 1 1 n = n = m n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 n = 7 n = m … ( а + b) = а + 5аb + 10а³b² + 10а²b³ + 5аb + b Используя треугольник Паскаля, получим, что

В n-й строке треугольника Паскаля стоят коэффициенты разложения бинома(а+b),причем каждый коэффициент, кроме крайних двух, равных 1, получается как сумма соответствующих коэффициентов из предыдущей строки. Число всех членов разложения на единицу больше показателя степени бинома (а + b), т.е. равно n + 1, а показатель степени а и b каждого члена разложения равен показателю степени бинома(а + b), так как (n – k ) + k = n.

Бином Ньютона Для любого натурального числа n справедлива формула, которая носит название формула бинома Ньютона, хотя это название исторически не является справедливым, поскольку ее знали еще среднеазиатские математики Омар Хайям( ), Гийас ад-Дин Джешид ал-Каши (нач. XV в.). В западной Европе до Ньютона её знал Паскаль (1623 – 1662) Исаак Ньютон

Теорема :Для любого n Є N справедливо равенство ( а + b ) = а +а¹b +аb¹ + bа²b² + … + Где- число сочетаний на n по k. Или

С использованием знака суммирования формула может быть записана в виде: Называют биноминальным коэффициентом Число Читается: сумма слагаемых аb, взятая для всех целых k от 0 до n.