Деление многочленов с остатком Кутищева Н.С. Алгебра 10

Для того чтобы усовершенствовать ум, надо больше размышлять, чем заучивать. Декарт ( ). Французский математик, физик, физиолог, философ.

Рассмотрим многочлен вида a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0, где a 0, a 1,…, a n-1, a n – данные числа, называемые коэффициентами многочлена. Коэффициент a n называют коэффициентом при старшем члене, а коэффициент a 0 – свободным членом. Если a n 0, то то многочлен называют многочленом степени n.

Назовите коэффициенты многочлена, свободный член и его степень 5x 3 + 4x 2 – 2x + 7; 2x 4 - 7x 3 - 3x 2 – x + 3; x 5 - 3x 3 - 9x 2 – 8x - 6;

Нулевой многочлен Если все коэффициенты многочлена равны нулю, то этот многочлен есть нулевой многочлен (его степень не определятся). Многочлен нулевой степени есть число, отличное от 0.

Пусть даны два многочлена A = a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0, a n 0, B = b m x m + b m-1 x m-1 + … + b 1 x + b 0, b m 0 Разделить многочлен А на многочлен В с остатком – значит найти многочлены G и R, такие, что выполняется равенство A=G· B+R, причём либо степень многочлена R меньше степени многочлена B, либо R – нулевой многочлен. G – частное(неполное частное), R – остаток.

Любое число, отличное от нуля, можно рассматривать как делитель любого многочлена. Например, число 1/3 есть делитель многочлена x 2 – 2x + 7, потому что x 2 – 2x + 7=1/3(3x 2 – 6x + 21)

Деление с остатком многочлена А на многочлен В обычно выполняется уголком xx x xx xxx xx xx x xx 73 x Пример 1

Пример 2 Разделить многочлен 5x4 - 3х5+3х-1 на многочлен х+1- х2. Решение. Представив делимое и делитель в каноническом виде, выполним деление «столбиком»:

Итак, или

ПРИМЕР 2. Разложить на множители многочлен Р 4 (х) =5х 4 +9х 3 -2х 2 -4х-8. Решение. Поскольку Р 4 (1) = 0, то Р 4 (х) делиться на х-1. Найдем частное

Задание на дом П (в) 2.35 (а)