Соотношения между сторонами и углами треугольника Денис Гуляев 10 a A B C D a b c C A B

Оглавление 1) Теорема о площади треугольника 2) Теорема синусов 3) Теорема косинусов 4) Измерительные работы 4) Измерительные работы 5) Вот и всё!

Теорема о площади треугольника Теорема: Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними A BC h y x В оглавление

Доказательство : Пусть в треугольнике АВС ВС = а, СА = b и S – площадь этого треугольника. Докажем, что S = ½ ab sinC. Введём систему координат с началом в точке С так, чтобы точка В лежала на положительной полуоси Сх, а точка А имела положительную ординату. Площадь данного треугольника можно вычислить по формуле S = ½ ah, где h – высота треугольника. Но h равна ординате точки А, т.е. h = b sinC. Следовательно, S = ½ ab sinC. Теорема доказана!

Теорема синусов Теорема: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. A BC b c a В оглавление

Доказательство: Пусть в треугольнике АВС АВ = с, ВС = а, СА = b. Докажем, что a/sin A = b/sin B = c/sin C. По теореме о площади треугольника S = ½ ab sin C, S = ½ bc sin A, S = ½ ca sin B. Из первых двух равенств получаем ½ ab sin C = ½ bc sin A, откуда a/sin A = c/sin C. Точно так же из второго и третьего равенств следует a/sin A = b/sin B. Итак, a/sin A = b/ sin B = c/ sin C. Теорема доказана. В оглавление

Теорема косинусов Теорема: Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними C(b cosA; b sinA) A B(c;0) c ab В оглавление

Доказательство: Пусть в треугольнике АВС АВ = с, ВС = а, СА = b. Докажем, например, что a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cosA. Введём систему координат с началом в точке А (см. рис.). Тогда точка В имеет координаты (с;0), а точка С имеет координаты (b cosA; b sinA). По формуле расстояния между двумя точками получаем: BC 2 = a 2 = (b cosA - c) 2 + sin 2 A = b 2 cos 2 A + b 2 sin 2 A – 2bc cosA + c 2 = = b 2 + c 2 - 2bc cosA. Теорема доказана. В оглавление

Измерительные работы Измерение высоты предмета. Предположим, что требуется определить высоту АН какого-то предмета. Для этого отметим точку В на определённом расстоянии а от основании Н предмета и измерим угол АВН: АВН = α. По этим данным из прямоугольного треугольника АНВ находим высоту предмета: АН = а*tgα. А НaBC α β В оглавление

Если основание предмета недоступно, то можно поступить так: на прямой, проходящей через основание Н предмета, отметим две точки В и С на определённом расстоянии а друг от друга и измерим углы АВН и АСВ: АВН = α и АСВ = β. Эти данные позволяют определить все элементы треугольника АВС, в частности АВ. В самом деле, угол АВН – внешний угол треугольника АВС, поэтому угол А = α-β. Используя теорему синусов находим АВ: АВ = (a*sinβ):sin(α-β). Из прямоугольного треугольника АВН находим высоту АН предмета: АН = АВ*sinα. Итак, АН = (а*sinα*sinβ) sin(α-β). В оглавление

В оглавление