Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между прямыми. Подготовила: Зайцева Марианна Учитель: Васюк Наталья Викторовна

Взаимное расположение прямых в пространстве b a C a b b a А) пересекающиеся прямые Б) параллельные прямые В) скрещивающиеся прямые

Скрещивающиеся прямые Определение Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. a b

Признак Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Доказательство Доказательство: Рассмотрим прямую AB, лежащую в плоскости α, и прямую CD,пересекающую эту плоскость в точке C, не лежащей на прямой AB. Докажем, что AB и CD- скрещивающиеся прямые, т. е. они не лежат в одной плоскости. Действительно, если допустить, что прямые AB и CD лежат в некоторой плоскости β будет проходить через прямую AB и точку C и поэтому совпадет с плоскостью α. Но это невозможно, так как прямая CD не лежит в плоскости α. Теорема доказана. D B Cα A

Теорема Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Доказательство Рассмотрим скрещивающиеся прямые AB и CD. Докажем, что через прямую AB проходит плоскость, параллельная CD,и такая плоскость только одна. Проведем через точку A прямую AE, параллельную прямой CD,и обозначим буквой α плоскость, проходящую через прямые AB и AE. Так как прямая CD не лежит в плоскости α и параллельна прямой AE, лежащей в этой плоскости,то прямая CD параллельна плоскости α. Ясно, что плоскость α- единственная плоскость, проходящая через прямую AB и параллельная прямая CD. В самом деле, любая другая плоскость, проходящая через прямую AB, пересекается с прямой AE,а значит, пересекается и с параллельной ей прямой CD. Теорема доказана. D CA E B

Углы с сонаправленными сторонами Теорема Если стороны двух углов соответственно сонаправлены,то такие углы равны.

Доказательство Рассмотрим углы O И O 1 с соответственно сонаправленными сторонами и докажем, что угол O = углу O1. Отметим на сторонах угла O какие-нибудь точки A и B и отложим на соответственных сторонах угла O 1 отрезки O 1 A 1 = OA и O 1 B 1 =OB Четырехугольник OO 1 A 1 A – параллелограмм,так как противоположные стороны OA и O 1 A 1 параллельны и равны. Отсюда следует, что AA 1 || OO 1 и AA 1 =OO 1. Аналогично четырехугольник OO1B1B- параллелограмм, поэтому BB 1 || OO 1 и BB 1 =OO 1. Так как AA 1 || OO 1 и BB 1 || OO 1,то по теореме о трех параллельных прямых AA 1 || BB 1. Кроме того,AA 1 =OO 1 =BB 1. Таким образом,в четырехугольнике ABB 1 A 1 противоположные стороны и параллельны и равны. Следовательно, этот четырехугольник –параллелограмм, и значит, стороны AB и A 1 B 1 равны. Сравним теперь треугольники AOB и A1O1B1. Они равны по трем сторонам, и поэтому угол O = углу O1. Теорема доказана. B1B1 O1O1 O B A A1A1

Угол между двумя прямыми α 180-α Любые две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости и образуют четыре неразвернутых угла. Если известен один из этих углов,то можно найти и другие три угла. Пусть α –тот из углов, который не превосходит любой из трех остальных углов. Тогда говорят, что угол между пересекающимися прямыми равен α.

Угол между скрещивающимися прямыми. D B C A A1A1 D1D1 C1C1 B1B1 φ Введем теперь понятие угла между скрещивающимися прямыми. Пусть AB и CD –две скрещивающиеся прямые. Через произвольную точку M1 проведем прямые A 1 B 1 и C 1 D 1, соответственно параллельные прямым AB и CD. Если угол между прямыми A 1 B 1 и C 1 D 1 равен φ, то будем говорить, что угол между скрещивающимися прямыми AB и CD равен φ. М1М1

Угол между скрещивающимися прямыми. Докажем, что угол между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки M 1. Действительно, возьмем любую точку M 2 и проведем через нее прямые A 2 B 2 и C 2 D 2, соответственно параллельные AB и CD. Так как A 1 B 1 || A 2 B 2, C 1 D 1 || C 2 D 2,то стороны углов с вершинами попарно сонаправлены. Поэтому эти углы соответственно равны. Отсюда следует,что угол между прямыми A 2 B 2 и C 2 D 2 также равен φ. A2A2 D2D2 C2C2 B2B2 φ М2М2 A1A1 D1D1 C1C1 B1B1 φ М1М1