тема урока: Решение логических задач с помощью алгебры логики х1х2F1f2f3f4f5f6f7f8f9f10f11f12f13f14f15f Табличное задание логических функций двух аргументов (учебник стр.163) Логические функции F2 – логическое умножение. F8 – логическое сложение. F13 логическое отрицание

Формальное задание функций f1(x1, x2) = 0 константа 0; f2(x1, x2) = x1 Λ x2 = min(x1,x2) конъюнкция; f3(x1, x2) = x1 V х2; f4(x1, x2) = x1 тождественная функция; f5(x1, x2) = х1 Λ x2; f6(x1, x2) = x2; f7(x1, x2) = x1 x2 (mod 2) f8(x1, x2) = x1 V x2 дизъюнкция; f9(x1, x2) = = x1 x2 стрелка Пирса; f10(x1, x2) = ; f11(x1, x2) = х2; f12(x1, x2) = ; f13(x1, x2) = 1; f14(x1, x2) = = x1 x2 импликация; f15(x1, x2) = = x1 x2 штрих Шеффера; f16(x1, x2) = 1 константа. В учебнике стр.167 в задании 3.8

Обозначение логичес-кой операции Другие обозначенияНабор истинностн ых значений Название логической операции Как читается на естественном языке Запись через базовые операции (Λ V¬) х1 Λ х2x1 & x2 x1 x2 x1x2 min{x1,x2} 0001 f2 Конъюнкция, логическое умножение, «И» х1 И х2х1 & х2 х1 V х2x1+x2 max{x1,x2} 0011 f4 дизъюнкция, логическое сложение, «ИЛИ» х1 ИЛИ х2х1+х2 x1x2х1 x21101 f14 Импликация, логическое следование если х1, то х2, х1 влечет х2x1+x2 х1 х2x1+x2 х1 х f7 Сумма по модулю 2, разделительная дизъюнкция Либо х1, либо х2 (х1х2)+(х1х2) х1~х2х1 х2, х1х f10 Эквиваленция, эквивалентность, тождественность х1 тогда и только тогда когда х2 (х1х2)+(х1х2) х1 х21110 f15 Штрих Шеффера Неверно, что х1 и х2 x1x2 x1 x2;х1х21000 f9 стрелка Пирса, антидизъюнкция Ни х1, ни х2 x1 V x2

Записать следующее высказывание в виде логического выражения: «Если я хорошо подготовлюсь по русскому языку, математике и физике, то я получу пятерки или четверки». Решение: выделим в составном высказывании простые и обозначим их логическими переменными: А – хорошо подготовлюсь по русскому языку; В – хорошо подготовлюсь по математике; С – хорошо подготовлюсь по физике; D – получу пятерки; Е – получу четверки. Тогда составное высказывание будет записано следующим образом: F = (A & B & C) (D V E)

Записать следующее высказывание в виде логического выражения: «по телевизору синоптик объявляет прогноз погоды на завтра и утверждает следующее: Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя. Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра. Если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра. Так какая же погода будет завтра? Решение: а) Выделим простые высказывания и запишем их через переменные: A – «Ветра нет» B – «Пасмурно» С – «Дождь» б) Запишем логические функции (сложные высказывания) через введенные переменные: 1. Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя: A B & C 2. Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра: С B & A 3. Если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра B C & A в) Запишем произведение указанных функций: F=(A B & C) & (CB & A) & (B C & A) осталось упростить функцию

F=(A BC)(CBA)(B CA) = _ _ _ _ =(A+BC)(C+BA)(B+CA) = _ _ _ _ _ _ =(AB+ACA+BCB+BCCA)(C+BA)= _ _ _ _ _ _ =AB(C+BA)=ABC __ F14(x1,x2)=x1+x2 Используем з-н коммутативности и раскроем скобки

д) Приравняем результат единице, т.е. наше выражение должно быть истинным: _ _ _ F = A B C = 1 е) Проанализируем результат: Логическое произведение равно 1, если каждый множитель равен 1. Поэтому: _ _ _ A = 1; B = 1; C = 1; Значит: A = 0; B = 0; C = 0; Ответ: погода будет ясная, без дождя, но ветреная.

Задача. Андрею, Саше и Егору предъявлено обвинение в соучастии в ограблении банка. Похитители скрылись на поджидавшем их автомобиле. На следствии Андрей показал, что преступники скрылись на синем Мерседесе, Саша сказал, что это был черный Джип, а Егор утверждал, что это был Форд Мустанг и ни в коем случае не синий. Стало известно, что желая запутать следствие, каждый из них указал правильно либо марку машины, либо только ее цвет. Какого цвета и какой марки была машина? Х=синийY= черный А=МерсВ=ДжипС=Форд Т.к. одно высказывание истинно, а другое ложно, можно записать: ХА=0; YВ=0; ХС=0, но

либо Х=1, либо А=1 это операция сложения по модулю 2, значит _ ХА+ХА=1 либо Y=1, либо B=1 _ YB+YB=1 _ либо Х=1, либо C=1 _ ХC+ХC=1 Машина была синяя или черная, значит: _ _ XY+XY=1 Мерс или Джип или Форд, значит: _ _ _ _ _ _ АВС+АВС+АВС=1 соединим все высказывания умножением _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ (ХА+ХА)(YB+YB)(ХC+ХC)(XY+XY)(АВС+АВС+ АВС)=1 _ ХА=0; YВ=0; ХС=0, но

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ (ХА+ХА)(YB+YB)(ХC+ХC)(XY+XY)(АВС+АВС+АВС )=1 _ _ _ _ (ХА+ХА)(ХC+ХC)= _ _ _ _ (YB+YB)(XY+XY)= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ (ХАС+ХАС)(YXB+YXB)=XACYB+ XACYB _ _ _ _ _ _ *·(ABC+АВC+ABC)= _ _ _ _ _ _ =XYABC=1 X=1 и Y=1 и A=1 и В=1 и С=1 Значит: Машина - черныйМерс. *