Численный метод решения нелинейных уравнений Шредингера с использованием алгоритмов цифровой обработки сигналов Руководитель: доктор физико-математических наук Волков Василий Михайлович Магистерская диссертация Минск 2008

1. Актуальность. Актуальность. 2. Поставленные цели. Поставленные цели. 3. Объект и предмет исследования. Объект и предмет исследования. 4. Научная гипотеза. Научная гипотеза. 5. Основные результаты. Основные результаты. 6. Научная новизна. Научная новизна. 7. Положения, выносимые на защиту. Положения, выносимые на защиту. 8. Литература Литература

Актуальность Нелинейные уравнения Шредингера находят широкое применение в нелинейной оптике, физике плазмы, теории сверхпроводимости, физике низких температур. До настоящего времени отсутствуют не только теоретические, но и экспериментальные количественные оценки погрешности данного класса алгоритмов связанных с использованием методов цифровой фильтрации

Поставленные цели Целью работы – развитие альтернативных подходов к решению данного класса задач, основанных на методах цифровой обработки сигналов

Объект и предмет исследования Объектом исследования является динамика световых импульсов в волоконных оптических линиях связи и нелинейной волновой динамика в целом. Предметом исследования являются построение и решение дискретной модели соответствующей ей дифференциальной задачи.

Научная гипотеза Задачи для нелинейное уравнение Шредингера (НУШ) вида (1) (2) (3) о является базовой моделью динамики световых импульсов в волоконных оптических линиях связи и нелинейной волновой динамики в целом. Для численного решения задач вида (1)-(3) наиболее широкое распространение получили консервативные разностные методы и псевдоспектральные методы с использованием техники дробных шагов, которые рассмотрены и модифицированы в магистерской работе.

Основные результаты Метод цифровой обработки сигнала (IIR) Алгоритм цифровой обработки сигнала в применении к поставленной задаче имеет следующую структуру: 1. Известная сеточная функция на к-ом слое по z считается входным вектором цифрового фильтра 2. Неизвестная сеточная функция является выходным вектором и рассчитывается по следующему алгоритму коэффициенты выбираются таким образом, чтобы шаг по эволюционной переменной z жестко связан с шагом по пространству, где

Результаты полученные в ходе работы Для совершенствования данного фильтра мы вместо фильтра применим сопряженный фильтр Последовательное применение цифровых фильтров и позволяет получить результирующее групповое запаздывание Нечетность функции группового запаздывания автоматически гарантирует отсутствие в ее представлении степенным рядом членов, содержащих четные степени. Отсюда следует, что предложенный цифровой фильтр, как и фильтр, имеет порядок аппроксимации на функции линейного группового запаздывания

Модифицированный метод дробных шагов с использованием пары сопряженных фильтров Использование предложенного рекурсивного фильтра в симметричной схеме расщепления по физическим процессам приводит к следующему трехшаговому алгоритму Первый шаг: Реализация процедуры цифрового фильтра Второй шаг: Вычисление решения нелинейной части задачи. Третий шаг: Реализация процедуры цифрового фильтра Далее переходим к шагу 1 и повторяем процедуру, пока не достигнем требуемого значения z

Научная новизна Предложена модифицированная схема МДШ с использованием пары сопряженных фильтров первого порядка с чисто мнимыми полюсами. Показано, что, в отличие от известных алгоритмов типа, модифицированная схема позволяет исключить постоянную групповую задержку решения задачи и обеспечить более высокую точность аппроксимации фазово- частотных характеристик.

Основные положения, выносимые на защиту Методы цифровой обработки сигналов. Построение модифицированного метода дробных шагов с использованием цифрового фильтра. Исследование точности предложенного метода, а также вычислительной сложности.

Литература 1. Carena A, Curri V., Gaudino R.. et.al // IEEE Journal on Selected Areas in Communications Vol. 15. P. 751 – Plura M., Kissing J., Gunkel M. et.al // Electronics Letters Vol. 37. P Plura M., Kissing J., Lenge J. et.al // Int. J. of Electronic and Communications. 2002, Vol. 56. P Taha R. T., Ablowitz M. J. // J. of Comp. Phys V. 55, 2. – P. 203 – Агравал Г. Нелинейная волоконная оптика. – М.: Мир, Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов. – СПб.: Питер, Самарский А.А, Теория разностных схем. – М.: Наука, Bosco G., Carena A., Curri V. et.al // IEEE Photonics Technology Letters Vol. 12. P

Спасибо за внимание!!!!