Свойства пределов. 1. Ограниченность функции, имеющей предел. –Определение. –Функция называется ограниченной на множестве D, если –Теорема. Пример. Функция.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
Предел и непрерывность функции одной переменной. Бесконечно малые функции Пусть функция определена в окрестности точки a, кроме, быть может, самой точки.
Advertisements

Сравнение бесконечно малых. Определения. Пусть - бесконечно малые при Тогда: –1. Если, то говорят, –что бесконечно малая имеет более –высокий порядок малости,
Введение в теорию пределов. Последовательность Опр. Числовой последовательностью называется функция, заданная на множестве N натуральных чисел. Кратко.
Предел функции Второй замечательный предел Бесконечно малые функции Непрерывность функции в точке Точки разрыва функции Основные теоремы о непрерывных.
Лектор Янущик О.В г. Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Числовые последовательности (бесконечно большие последовательности и их.
{ предел последовательности - число e - оценка – предел функции - теоремы о пределах - признаки существования пределов - замечательные пределы – первый.
§4. Непрерывность функции 1. Основные определения Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f(x) называется непрерывной.
Числовая последовательность и её предел. Сходимость последовательности.
Company Logo Предел функции по Коши Пусть функция у = f(x) определена в окрестности точки x 0. В самой точке x 0 функция может быть.
Лектор Белов В.М г. Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Бесконечно большие последовательности Предел функции (определение и свойства.
Введение в теорию пределов. Последовательность Опр. Числовой последовательностью называется функция, заданная на множестве N натуральных чисел. Кратко.
{ определение непрерывности функции в точке - пример - классификация точек разрыва – примеры функции, непрерывные на множестве - свойства непрерывных функций.
Дифференциал функции Определение 1. Пусть приращение функции можно представить в виде где A не зависит от, - бесконечно малая более высокого порядка малости,
Предел и непрерывность функции.. Бесконечно малая и бесконечно большие величины. Переменная величина α называется бесконечно малой, если она изменяется.
Предел и непрерывность функции одной переменной. Понятие функции Функцией называется отношение, при котором каждому элементу множества X соответствует.
Определение Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. α α β, тогда αβ β.
Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Предел функции (свойства пределов, бесконечно большие и их свойства,
Непрерывность на отрезке Непрерывность на интервале Непрерывность в точке.
Определения Две не пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, называются параллельными. с а с а α Прямые а и с лежат в плоскости α, причём а с,
Предел Бесконечно маленькая величина Бесконечно маленькой величиной называется переменная, которая при всех своих изменениях с некоторого места становится.
Транксрипт:

Свойства пределов. 1. Ограниченность функции, имеющей предел. –Определение. –Функция называется ограниченной на множестве D, если –Теорема. Пример. Функция 1)На множестве (1.2) – ограниченная; 2)На множестве (0.1) - ограниченная снизу; 3)На множестве (-1.1) – неограниченная; 4)На множестве (1. ) – ограниченная; 5)На множестве (0, ) ограниченная снизу. 0 х y

Свойства пределов. Теорема (о разности между функцией и ее пределом) 1. Прямая теорема: –(необходимость) 2. Обратная теорема: ( достаточность) где - бесконечно малая при где - бесконечно малая при где - бесконечно малая при

Свойства пределов. Доказательство прямой теоремы. Доказательство обратной теоремы. где - бесконечно малая при

Свойства пределов. 2.Основные свойства бесконечно малых величин. Пусть и - бесконечно малые при Тогда при –1. - бесконечно малая величина. –2. -бесконечно малая величина. –3. - бесконечно малая величина, если ограниченная величина. Доказательство 1 свойства ( для суммы ). 1.Обозначим 2.Возьмем число,где произвольное положительное число. 3.Из определения бесконечно малых величин следует: Тогда Д.з. Д окажите свойство 3.

Свойства пределов. 3. Основные свойства пределов. Пусть существуют Тогда: если,то Доказательство 1 свойства. 1. где и - бесконечно малые при 2. Следовательно число бесконечно малая Д.з. Докажите свойство 2.

Свойства пределов. 4. Бесконечно большие величины при. –Определение. –Функция называется –бесконечно большой при –если Связь бесконечно больших и бесконечно малых величин. Теорема 1. Если - бесконечно большая величина при, то - бесконечно малая величина. 0 х y M -M

Свойства пределов. Теорема 2. Доказательство. 1. Возьмем произвольное и обозначим 2. Так как,то Следовательно Если - бесконечно малая величина при то - бесконечно большая величина.

Свойства пределов. 5. Бесконечно большие при. –Определение. –Геометрическая интерпретация. 0 х y M N-N х

Свойства пределов. 6. Два признака существования предела. Теорема 1. Пусть Геометрическая интерпретация. Теорема 2 (теорема Вейерштрасса). Пусть х y

Свойства пределов. 7. Первый замечательный предел. Доказательство OBA OBA OCA 0A B C D

Свойства пределов По первому признаку существования предела:

Свойства пределов. 8. Второй замечательный предел. –1. –2. Утверждения: –3. По второму признаку существования предела:

Свойства пределов. –4. Пусть. Тогда –Если, то